Kezdőlap


Feladat:	801. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beregi Péter
Füzet:	1957/szeptember, 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/január: 801. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $α + β + γ = 180^{\circ}$ , azért

\begin{matrix} sin γ = sin (α + β) = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α + β}{2}, \end{matrix}

másrészt ismeretes, hogy

\begin{matrix} cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} \end{matrix}

és így feltételi egyenletünk így írható:

\begin{matrix} 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α + β}{2} = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} . \end{matrix}

Nullára redukálva

\begin{matrix} cos \frac{α + β}{2} (sin \frac{α + β}{2} - cos \frac{α - β}{2}) = 0. \end{matrix}

Az első tényező csak akkor lenne 0, ha

α + β = 180^{\circ}

, de ez esetben nincs háromszög. Így csak a második tényező lehet nulla, azaz

\begin{matrix} sin \frac{α + β}{2} = cos \frac{α - β}{2} . \end{matrix}

Mivel

α

és

β

egy háromszög szögei, azért vagy

\begin{matrix} \frac{α + β}{2} = 90^{\circ} - \frac{α - β}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} α = 90^{\circ}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 180^{\circ} - \frac{α + β}{2} = 90^{\circ} - \frac{α - β}{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} β = 90^{\circ} . \end{matrix}

Beregi Péter (Bp. VI., Kölcsey g. IV. o. t.)