|
Feladat: |
800. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bácsy E. , Bergmann Gy. , Borsi L. , Böröczky K. , Fodor L. , Gáti Gy. , Gáti Z. , Gergely Ervin , Gyene A. , Győry K. , Heinemann Z. , Jajczay Ágnes , Kanyó Z. , Kisvölcsey J. , Lőrinczy L. , Meskó A. , Molnár J. , Montvay I. , Papp K. , Sárközi A. , Schipp Ferenc , Schultz Gy. , Simon L. , Solt Gy. , Szász D. , Szokoly P. , Tatár I. , Várallyay L. , Vass E. , Veszely J. |
Füzet: |
1957/szeptember,
23. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Magasabb fokú egyenletek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1957/január: 800. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Egyenletünkben a legmagasabb fokú tag együtthatója 1, az összes többi együttható egész, tehát a racionális gyökök csak egész számok lehetnek, és ezek az állandó tag, azaz osztói közül kerülhetnek ki. Mivel törzsszám, a lehetséges gyökök , . Mivel az egyenletben -nek csak páros hatványai szerepelnek, azért ha gyöke az egyenletnek, akkor is az, Ismeretes, hogy a gyökök szorzata (az előjeltől eltekintve) az állandó taggal egyenlő. Tegyük fel, hogy gyöke az egyenletnek. Ekkor is az, s így az állandó tagnak, -nek osztója , ami lehetetlen. (Az 1 nem prímszám.) Ha nem gyöke az egyenletnek, akkor a gyökök alakúak, így szorzatuk nem lehet . Látható tehát, hogy nem létezik a feladat feltételeinek megfelelő és érték úgy, hogy az egyenlet minden gyöke racionális legyen. Megjegyzés: Ha csak azt követeljük, hogy az egyenletnek racionális gyöke legyen, akkor van megoldás. Egyenletünk így is írható: | |
Mint láttuk, bármely racionális gyök csak egész szám lehet, tehát szükségképpen egész szám, ami csak úgy lehet, hogy . Ezt az értéket behelyettesítve egyenletünkbe ami csak , esetben állhat fenn, mert esetén és közül az egyik , a másik alakú , és így alakú volna, ami ellentmond annak, hogy prím.
esetén , de 1 nem prímszám.
esetén , és az egyenlet amikor a két racionális gyökön (, ) kívül van még két nem valós gyök.
Gergely Ervin (Bp. IV., Könyves Kálmán g. IV. o. t.) |
Schipp Ferenc (Mohács, Kisfaludy K. g. IV. o. t.) |
|
|