Kezdőlap


Feladat:	800. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bácsy E. , Bergmann Gy. , Borsi L. , Böröczky K. , Fodor L. , Gáti Gy. , Gáti Z. , Gergely Ervin , Gyene A. , Győry K. , Heinemann Z. , Jajczay Ágnes , Kanyó Z. , Kisvölcsey J. , Lőrinczy L. , Meskó A. , Molnár J. , Montvay I. , Papp K. , Sárközi A. , Schipp Ferenc , Schultz Gy. , Simon L. , Solt Gy. , Szász D. , Szokoly P. , Tatár I. , Várallyay L. , Vass E. , Veszely J.
Füzet:	1957/szeptember, 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Magasabb fokú egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/január: 800. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenletünkben a legmagasabb fokú tag együtthatója 1, az összes többi együttható egész, tehát a racionális gyökök csak egész számok lehetnek, és ezek az állandó tag, azaz $p$ osztói közül kerülhetnek ki. Mivel $p$ törzsszám, a lehetséges gyökök $x = \pm 1$ , $\pm p$ .
Mivel az egyenletben $x$ -nek csak páros hatványai szerepelnek, azért ha $x = a$ gyöke az egyenletnek, akkor $x = - a$ is az, Ismeretes, hogy a gyökök szorzata (az előjeltől eltekintve) az állandó taggal egyenlő.
Tegyük fel, hogy $p$ gyöke az egyenletnek. Ekkor $- p$ is az, s így az állandó tagnak, $p$ -nek osztója $p (- p) = - p^{2}$ , ami lehetetlen. (Az 1 nem prímszám.)
Ha $p$ nem gyöke az egyenletnek, akkor a gyökök $\pm 1$ alakúak, így szorzatuk nem lehet $p$ .
Látható tehát, hogy nem létezik a feladat feltételeinek megfelelő $p$ és $n$ érték úgy, hogy az egyenlet minden gyöke racionális legyen.
Megjegyzés: Ha csak azt követeljük, hogy az egyenletnek racionális gyöke legyen, akkor van megoldás.
Egyenletünk így is írható:

\begin{matrix} x^{2} [x^{2 (n - 1)} + 2 x^{2 (n - 2)} + ... + n] = p . \end{matrix}

Mint láttuk, bármely racionális gyök csak egész szám lehet, tehát

\frac{p}{x^{2}}

szükségképpen egész szám, ami csak úgy lehet, hogy

x^{2} = 1

.
Ezt az értéket behelyettesítve egyenletünkbe

\begin{matrix} 1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} = p, \end{matrix}

ami csak

n = 1

n = 2

esetben állhat fenn, mert

n > 2

esetén

n

és

n + 1

közül az egyik

2 k

, a másik

2 k \pm 1

alakú

(k > 1)

, és így

p = k (2 k \pm 1)

alakú volna, ami ellentmond annak, hogy

p

prím.

n = 1

esetén

p = 1

, de 1 nem prímszám.

n = 2

esetén

p = 3

, és az egyenlet

\begin{matrix} x^{4} + 2 x^{2} - 3 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 3) = 0, \end{matrix}

amikor a két racionális gyökön (

x_{1} = 1

x_{2} = - 1

) kívül van még két nem valós gyök.

Gergely Ervin (Bp. IV., Könyves Kálmán g. IV. o. t.)

Schipp Ferenc (Mohács, Kisfaludy K. g. IV. o. t.)