Kezdőlap


Feladat:	799. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pődör Bálint
Füzet:	1957/szeptember, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Fizikai jellegű feladatok, Teljes indukció módszere, Folyadékok, szilárd testek fajhője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/január: 799. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először általánosságban oldjuk meg a problémát. Kiindulunk az ismert összefüggésből, amely szerint a leadott hőmennyiség megegyezik a felvett hőmennyiséggel, eltekintve a hőveszteségtől. Jelen esetben tehát (a víz fajhője egységnyi lévén) az első átöntés után a víz $t_{1}$ hőfoka a következő egyenletből számítható ki:

\begin{matrix} (m - v) (t - t_{1}) = v (t_{1} - d), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} t_{1} = \frac{(m - v) t + v d}{m} = \frac{(m - v) t + d [m - (m - v)]}{m} . \end{matrix}

(1)

Ennek alapján a második átöntés után a víz hőfoka

\begin{matrix} t_{2} = \frac{(m - v) t_{1} + v d}{m} = \frac{{(m - v)}^{2} t + d [m (m - v) - {(m - v)}^{2}]}{m^{2}} + \frac{m v d}{m^{2}} = \\ = \frac{{(m - v)}^{2} t + d [m^{2} - {(m - v)}^{2}]}{m^{2}} . \end{matrix}

Be fogjuk bizonyítani teljes indukcióval, hogy az

n

-edik átöntés után

\begin{matrix} t_{n} = \frac{{(m - v)}^{n} t + d [m^{n} - {(m - v)}^{n}]}{m^{n}} . \end{matrix}

(2)

Legyen ugyanis

\begin{matrix} t_{k} = \frac{{(m - v)}^{k} t + d [m^{k} - {(m - v)}^{k}]}{m^{k}}, \end{matrix}

akkor (1) alapján

\begin{matrix} t_{k + 1} = \frac{(m - v) t_{k} + v d}{m} = \frac{m - v}{m} t_{k} + \frac{v d}{m} = \frac{{(m - v)}^{k + 1} t + d [m^{k} (m - v) - {(m - v)}^{k + 1}}{m^{k + 1}} + \\ + \frac{m^{k} v d}{m^{k + 1}} = \frac{{(m - v)}^{k + 1} t + d [m^{k + 1} - {(m - v)}^{k + 1}]}{m^{k + 1}} . \end{matrix}

Mivel továbbá láttuk ‐

n = 2

(és

n = 1

) esetén a (2) képlet igaz, azért (2) bármely

n

természetes szám esetén is igaz.
Ezek után alkalmazhatjuk a (2) képletet a jelen feladatra.

\begin{matrix} a) t_{100} = \frac{3980^{100} \cdot 60 + 10 (4000^{100} - 3980^{100})}{4000^{10}} = {(\frac{398}{400})}^{100} \cdot 50 + 10 = 30, 13 + 10 = 40, 13 C^{\circ} . \end{matrix}

b) Jelöljük a szükséges vízcserék számát

x

-szel.

\begin{matrix} t_{x} = 28 = \frac{3980^{x} 40 + 15 (4000^{x} - 3980^{x})}{4000^{x}} = {(\frac{398}{400})}^{x} \cdot 25 + 15, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} {(\frac{398}{400})}^{x} = \frac{13}{25}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x = \frac{lg 25 - lg 13}{lg 400 - lg 398} \sim \frac{0, 284}{0, 0022} = 129, 1. \end{matrix}

Pödör Bálint (Bp. II., Rákóczi g. III. o. t.)