Kezdőlap


Feladat:	798. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Máthé Csaba , Tusnády Gábor
Füzet:	1957/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Köbszámok összege, Számtani sorozat, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/január: 798. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a bal oldalt $S_{n}$ -nel, akkor (a jobb oldalon felhasználva a számtani sorozat összegképletét)

\begin{matrix} S_{n} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} . \end{matrix}

n = 1

esetén állításunk igaz. Végezhetjük a bizonyítást teljes indukcióval.
Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} S_{k} = \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4}, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} S_{k + 1} = \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4} + {(k + 1)}^{3} = {(k + 1)}^{2} (\frac{k^{2}}{4} + k + 1) = \\ = {(k + 1)}^{2} \frac{k^{2} + 4 k + 4}{4} = \frac{{(k + 1)}^{2} {(k + 2)}^{2}}{4}, \end{matrix}

vagyis, ha

k

-ra igáz, akkor

(k + 1)

-re igaz.

Tusnády Gábor (Sátoraljaújhely, Kossuth g. II. o. t.)

II. megoldás:

\begin{matrix} {(1 + 2 + 3 + ... + n)}^{2} = 1^{2} + (2 \cdot 1 \cdot 2 + 2^{2}) + [2 (1 + 2) 3 + 3^{2}] + ... \\ + [2 (1 + 2 + ... + (k - 1)) k + k^{2}] + ... + [2 (1 + 2 + ... + (n - 1)) n + n^{2}] . \end{matrix}

Megmutatjuk, hogy minden szögletes zárójelben egy‐egy köbszám áll. Ugyanis

\begin{matrix} 1 + 2 + ... + (k - 1) = \frac{(k - 1) k}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 2 (1 + 2 + ... + (k - 1)) k + k^{2} = (k - 1) k^{2} + k^{2} = k^{3}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} {(1 + 2 + 3 + ... + n)}^{2} = 1^{3} + 2^{3} + ... + k^{3} + ... + n^{3} . \end{matrix}

Máthé csaba (Győr, Révay g. I. o. t.)