Kezdőlap


Feladat:	797. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szatmári Gábor
Füzet:	1957/szeptember, 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Számtani sorozat, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/január: 797. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a három szám rendre $x$ , $y$ , $z$ . A feladat szerint $x$ , $y$ , és $z + 1$ számtani sorozat, tehát

\begin{matrix} 2 y = x + z + 1, \end{matrix}

(1)

másrészt

x + 3

y

z

mértani sorozat, vagyis

\begin{matrix} y^{2} = z (x + 3) . \end{matrix}

(2)

Egyenletrendszerünk harmadik egyenlete

\begin{matrix} x + y + z = 35. \end{matrix}

(3)

(1)-ből

x + z = 2 y - 1

, ezt (3)-ba helyettesítve

\begin{matrix} 3 y - 1 = 35, ahonnan y = 12. \end{matrix}

y

ezen értékét (3)-ba, illetőleg (2)-be helyettesítve

\begin{matrix} x + z = 23, & (4) \\ z (x + 3) = 144. & (5) \end{matrix}

(4)-ből

z

értékét (5)-be helyettesítve

\begin{matrix} (23 - x) (x + 3) = 144, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x^{2} - 20 x + 75 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x_{1} = 15, x_{2} = 5, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} z_{1} = 8, z_{2} = 18. \end{matrix}

Tehát a feltételeknek két számhármas felel meg:

\begin{matrix} 15, 12, 8 és 5, 12, 18. \end{matrix}

Szatmári Gábor (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.)