Kezdőlap


Feladat:	796. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Madarász Klára
Füzet:	1957/szeptember, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/december: 796. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a hatszög oldala $a$ .
$α$ ) Az első forgástest egy forgáshengerből és két egybevágó forgáskúpból tevődik össze.

A henger magassága

a

, sugara

\frac{a}{2} \sqrt[]{3}

A forgáskúp magassága

\frac{a}{2}

, sugara ugyancsak

\frac{a}{2} \sqrt[]{3}

A keletkező forgástest köbtartalma tehát

\begin{matrix} K_{1} = {(\frac{a}{2} \sqrt[]{3})}^{2} π a + 2 {(\frac{a}{2} \sqrt[]{3})}^{2} π \frac{a}{6} = \frac{3 a^{3} π}{4} + \frac{a^{3} π}{4} = a^{3} π . \end{matrix}

A keletkezett forgástest felszíne a hengerpalástból és a két kúppalástból tevődik össze:

\begin{matrix} F_{1} = 2 \frac{a \sqrt[]{3}}{2} π a + 2 \frac{a \sqrt[]{3}}{2} π a = 2 \sqrt[]{3} a^{2} π . \end{matrix}

β

) A második forgástest két egybevágó csonka kúpból áll. Az alapkörök sugara

a

és

\frac{a}{2}

, csonka kúp magassága

\frac{a}{2} \sqrt[]{3}

.
A köbtartalma tehát

\begin{matrix} K_{2} = 2 \frac{\frac{a \sqrt[]{3}}{2} π}{3} (a^{2} + \frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{4}) = \frac{a \sqrt[]{3}}{3} π \cdot \frac{7 a^{2}}{4} = \frac{7 \sqrt[]{3}}{12} a^{3} π . \end{matrix}

A felszín a két palást és a két kisebbik alapkör területének összege:

\begin{matrix} F_{2} = 2 \frac{2 a π + a π}{2} a + 2 {(\frac{a}{2})}^{2} π = 3 a^{2} π + \frac{a^{2} π}{2} = \frac{7}{2} a^{2} π . \end{matrix}

Eszerint a) a köbtartalmak aránya

\begin{matrix} K_{1} : K_{2} = a^{3} π : \frac{7 \sqrt[]{3}}{12} a^{3} π = \frac{12}{7 \sqrt[]{3}} = \frac{4 \sqrt[]{3}}{7}, \end{matrix}

b) a felszínek aránya

\begin{matrix} F_{1} : F_{2} = 2 \sqrt[]{3} a^{2} π : \frac{7}{2} a^{2} π = \frac{4 \sqrt[]{3}}{7} . \end{matrix}

Tehát a köbtartalmak és felszínek aránya ugyanaz:

\frac{4 \sqrt[]{3}}{7} \sim 0, 99

Madarász Klára (Szeged, Tömörkény lg. II. o. t.)