Kezdőlap


Feladat:	795. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kolonits Ferenc
Füzet:	1957/szeptember, 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/december: 795. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Egyenlőtlenségünk így írható:

\begin{matrix} 3 - 4 cos t + cos 2 t \geq 0. \end{matrix}

cos 2 t = cos^{2} t - s i n^{2} t = 2 cos^{2} t - 1

. Ezen értéket egyenlőtlenségünkbe helyettesítve, és 2-vel egyszerűsítve

\begin{matrix} 1 - 2 cos t + cos^{2} t = {(1 - cos t)}^{2} \geq 0, \end{matrix}

ami nyilván igaz. Csupa egyértékű átalakításokat végeztünk, gondolatmenetünk tehát visszafelé is követhető, azért az eredeti egyenlőtlenség is igaz.
b) A bizonyítás teljesen hasonlóan történik. Végezzük most el következtetéseinket fordított sorrendben.
Nyilván

\begin{matrix} {(1 - sin t)}^{2} = 1 - 2 sin t + sin^{2} t \geq 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 2 - 4 sin t + 2 sin^{2} t \geq 0, \end{matrix}

ami így is írható:

\begin{matrix} 3 - 4 sin t - (1 - 2 sin^{2} t) = 3 - 4 sin t - cos 2 t \geq 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} sin t \leq \frac{3}{4} - \frac{cos 2 t}{4}, \end{matrix}

ami bizonyítandó volt.

Kolonits Ferenc (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.)