Kezdőlap


Feladat:	794. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Papp Kálmán
Füzet:	1957/május, 146 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/december: 794. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $sin 2 x = 2 sin x cos x$ , és $cos 3 x = cos (2 x + x) = cos 2 x cos x - sin 2 x sin x = (1 - 2 sin^{2} x) cos x - 2 sin^{2} x cos x = cos x (1 - 4 sin^{2} x)$ , azért egyenletünk 0-ra redukálva így írható:

\begin{matrix} 2 sin x cos x - cos x (1 - 4 sin^{2} x) = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} cos x (4 sin^{2} x + 2 sin x - 1) = 0. \end{matrix}

Itt vagy

\begin{matrix} cos x = 0 \end{matrix}

(1)

vagy

\begin{matrix} 4 sin^{2} x + 2 sin x - 1 = 0. \end{matrix}

(2)

Az (1) esetben

\begin{matrix} x_{1} = 90^{\circ} \pm k \cdot 360^{\circ}, x_{2} = 270^{\circ} \pm k \cdot 360^{\circ} (k = 0,1,2, ...) . \end{matrix}

A (2) esetben

\begin{matrix} sin x = \frac{- 2 \pm \sqrt[]{4 + 16}}{8} = \frac{- 1 \pm \sqrt[]{5}}{4} . \end{matrix}

A közelítő értékeket kiszámítva, a táblázatból

x

-re

18^{\circ}

, ill.

- 54^{\circ}

adódik, de természetesen kétséges, hogy ezek az értékek pontosak.
E kérdést eldönthetjük, ha kiszámítjuk sin

18^{\circ}

és sin

54^{\circ}

értékét. Ez történhetik pl. a következőképpen:
Ismeretes goniometriai összefüggéseket felhasználva

\begin{matrix} 2 sin 36^{\circ} cos 36^{\circ} = sin 72^{\circ}, \\ 2 sin 72^{\circ} cos 72^{\circ} = sin 144^{\circ} = sin 36^{\circ} . \end{matrix}

E két azonosság szorzatát

sin 36^{\circ} sin 72^{\circ}

-kal egyszerűsítve

\begin{matrix} 4 cos 36^{\circ} cos 72^{\circ} = 4 sin 54^{\circ} sin 18^{\circ} = 1. \end{matrix}

(1)

(1) figyelembevételével

\begin{matrix} sin 54^{\circ} - sin 18^{\circ} = 2 cos 36^{\circ} sin 18^{\circ} = 2 sin 54^{\circ} sin 18^{\circ} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

(2)

Másrészt

\begin{matrix} {(sin 54^{\circ} + sin 18^{\circ})}^{2} = {(sin 54^{\circ} - sin 18^{\circ})}^{2} + 4 sin 54^{\circ} sin 18^{\circ}, \end{matrix}

és így (2) és (1)-et felhasználva

\begin{matrix} sin 54^{\circ} + sin 18^{\circ} = \sqrt[]{\frac{1}{4} + 1} = \frac{\sqrt[]{5}}{2} . \end{matrix}

(3)

(2)-ből és (3)-ból

\begin{matrix} sin 18^{\circ} = \frac{- 1 + \sqrt[]{5}}{4} és sin 54^{\circ} = \frac{1 + \sqrt[]{5}}{4} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} x_{3} = 18^{\circ} \pm k \cdot 360^{\circ}, x_{4} = 162^{\circ} \pm k \cdot 360^{\circ}, \\ x_{5} = 234^{\circ} \pm k \cdot 360^{\circ}, x_{6} = 306^{\circ} \pm k \cdot 360^{\circ}, \\ ahol k = 0,1,2, ... \end{matrix}

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy mind a hat főérték kielégíti egyenletünket.

Papp Kálmán (Bp. IX., Fáy A. g. IV. o. t.)

II. megoldás: Egyenletünket így írhatjuk:

\begin{matrix} sin 2 x = sin (90^{\circ} - 3 x) . \end{matrix}

Ez az egyenlet két esetben áll fenn, ha

\begin{matrix} 2 x = 90^{\circ} - 3 x \pm k \cdot 360^{\circ} vagy 180^{\circ} - 2 x = 90^{\circ} - 3 x \pm k \cdot 360^{\circ} . \end{matrix}

Az elsőből

\begin{matrix} 5 x = 90^{\circ} \pm k \cdot 360^{\circ}, azaz x = 18^{\circ} \pm k \cdot 72^{\circ} . \end{matrix}

Innen aszerint, hogy

k = 5 l

5 l + 1

5 l + 2

5 l + 3

5 l + 4

alakú

\begin{matrix} x_{1} = 18^{\circ} \pm l \cdot 360^{\circ}, x_{2} = 90^{\circ} \pm l \cdot 360^{\circ}, x_{3} = 162^{\circ} \pm l \cdot 360^{\circ}, \\ x_{4} = 234^{\circ} \pm l \cdot 360^{\circ}, x_{5} = 306^{\circ} \pm l \cdot 360^{\circ} . (l = 0,1,2, ...) \end{matrix}

A második egyenlőségből

\begin{matrix} x_{6} = - 90^{\circ} \pm k \cdot 360 = 270^{\circ} \pm k' \cdot 360^{\circ} (ahol k' = k - 1, k = 1,2, ...) . \end{matrix}