Kezdőlap


Feladat:	792. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók Károly , Sárközy András , Szalay Zsolt
Füzet:	1957/május, 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/december: 792. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A bizonyítást teljes indukcióval végezhetjük el. Jelöljük kifejezésünket $f (n)$ -nel.
Állításunk $n = 1$ -re igaz, mivel $= f (1) = 24 \cdot 80 + 1992 = 3912 = 2 \cdot 1956$ .
Tegyük fel, hogy $f (k)$ osztható 1956-tal, bebizonyítjuk, hogy akkor $f (k + 2)$ is osztható 1956-tal.

\begin{matrix} f (k + 2) = 24 \cdot 80^{k + 2} + 1992 \cdot 83^{k + 1} = 24 \cdot 80^{2} \cdot 80^{k} + 1992 \cdot 83^{2} \cdot 83^{k - 1} = \\ = 80^{2} (24 \cdot 80^{k} + 1992 \cdot 83^{k - 1}) + (83^{2} - 80^{2}) 1992 \cdot 83^{k - 1} = \\ = 80 \cdot f (k) + 3 \cdot 163 \cdot 1992 \cdot 83^{k - 1} . \end{matrix}

Az első tag a feltevés szerint osztható 1956-tal. A második tag első három tényezője pedig így írható:

3 \cdot 163 \cdot 4 \cdot 498 = 1956 \cdot 498

, s így nyilvánvaló, hogy a második tag is osztható 1956-tal.
Ezzel az állítás helyességét páratlan

n

számokra igazoltuk.

Megjegyzés: Bizonyításunkból kitűnik az is, hogy páratlan

n

esetén

f (n)

osztható

2 \cdot 1956

-tal is.

Bartók Károly (Székesfehérvár, József A. g. IV. o.t.)

II. megoldás: Kifejezésünk így alakítható át:

\begin{matrix} f (n) = 24 \cdot 80^{n} + 1992 \cdot 83^{n - 1} = 24 \cdot 80 \cdot 80^{n - 1} + 1992 \cdot 83^{n - 1} . \end{matrix}

24 \cdot 80 = 1920 = 1956 - 36

1992 = 1956 + 36

, és így

\begin{matrix} f (n) = 1956 (83^{n - 1} + 80^{n - 1}) + 36 (83^{n - 1} - 80^{n - 1}) . \end{matrix}

A jobboldal első tagja osztható 1956-tal. Ha

n

páratlan, akkor

n - 1

páros, s így

83^{n - 1} - 80^{n - 1}

osztható

83 + 80 = 163

-mal. Tehát a második tag osztható

12 \cdot 163 = 1956

-tal.

Szalay Zsolt (Bp. VIII., Széchenyi g..III. o. t.)

III. megoldás: Tekintve, hogy

1992 = 24 \cdot 83

, azért

\begin{matrix} f (n) = 24 \cdot 80^{n} + 24 \cdot 83^{n} = 24 (80^{n} + 83^{n}) . \end{matrix}

Ismeretes, hogy ha

n

páratlan, akkor

a^{n} + b^{n}

osztható (

a + b

)-vel, tehát páratlan

n

esetén

f (n)

osztható

24 (80 + 83) = 24 \cdot 163 = 2 \cdot 12 \cdot 163 = 2 \cdot 1956

-tal.

Sárközy András (Gyöngyös, Vak Bottyán g. III. o.t.)