Kezdőlap


Feladat:	791. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Argay Gy. , Bácsy E. , Bergmann Gy. , Detre Mária , Frivaldszky S. , Gáti Z. , Heinemann Z. , Horváth M. , Kisvölcsey Jenő , Kominka E. , Mályusz K. , Máté L. , Megyesi L. , Parlagh G. , Rockenbauer A. , Schipp F. , Schultz Gy. , Simon L. , Solt Gy. , Szatmári G. , Szatmáry Z. , Unatényi T. , Vékony L. , Veszely Gy. , Wollner R. , Zaránd Pál , Zaránd Péter
Füzet:	1957/május, 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/december: 791. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet az $x = \pm \sqrt[]{5}$ és $x = - 2$ értékekre nincs értelmezve, tehát ezeket az értékeket ki kell zárnunk.
Mindkét oldalt négyzetre emelve

\begin{matrix} \frac{4 (x^{4} - 6 x^{2} + 9)}{x^{4} - 10 x^{2} + 25} = \frac{5 x + 6}{x + 2} . \end{matrix}

A törteket eltávolítva és rendezve

\begin{matrix} x^{5} - 2 x^{4} - 26 x^{3} - 12 x^{2} + 89 x + 78 = 0. \end{matrix}

Ismert tétel szerint, ha van racionális gyöke ennek az egyenletnek, az csak 78 osztói közül kerülhet ki. Kevés kísérletezés után megállapíthatjuk, hogy

x_{1} = - 1

x_{2} = 2

x_{3} = - 3

kielégíti az egyenletet. A baloldalon álló többtagút

(x + 1) (x - 2) (x + 3) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x - 6

polinommal osztva

(x^{2} - 4 x - 13)

-at nyerünk, vagyis egyenletünk így írható:

\begin{matrix} (x + 1) (x - 2) (x + 3) (x^{2} - 4 x - 13) = 0. \end{matrix}

Az ötödfokú egyenlet még hiányzó két gyökét az

\begin{matrix} x^{2} - 4 x - 13 = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlet szolgáltatja.
Ebből

\begin{matrix} x_{4} = 2 + \sqrt[]{17} és x_{5} = 2 - \sqrt[]{17} . \end{matrix}

Behelyettesítéssel adódik, hogy csak az

\begin{matrix} x_{2} = 2 és x_{5} = 2 - \sqrt[]{17} \end{matrix}

elégíti ki eredeti egyenletünket.

Kisvölcsey Jenő (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.)