Kezdőlap


Feladat:	790. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Győry Kálmán , Vannay László
Füzet:	1957/április, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/december: 790. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A $+ 1$ és $(- 1)$ -ektől eltekintve

\begin{matrix} S'_{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ... + n (n + 1) . \end{matrix}

Mindkét oldalt

1 \cdot 2

-vel osztva

\begin{matrix} \frac{S'_{n}}{2} = \frac{2 \cdot 1}{1 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2} + ... + \frac{(n + 1) n}{1 \cdot 2} = \\ = (\binom{2}{2}) + (\binom{3}{2}) + (\binom{4}{2}) + ... + (\binom{n + 1}{2}) . \end{matrix}

Felhasználva a binomiális együtthatóknak azt a tulajdonságát (lásd a ,,Középiskolai szakköri füzetek'' sorozatában a ,,Kombinatórika'' c. füzet 30‐31. oldalán), hogy

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) + (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 2}{k}) + ... + (\binom{k + 1}{k}) + (\binom{k}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1}), \\ \frac{S'_{n}}{2} = (\binom{n + 2}{3}) = \frac{(n + 2) (n + 1) n}{1 \cdot 2 \cdot 3}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} S'_{n} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3} . \end{matrix}

Ha a keresett sorozat összegét

S_{n}

-nel jelöljük, akkor
páros

n

esetén

S_{n} = S'_{n}

,
páratlan

n

esetén

S_{n} = S'_{n} - 1

Győry Kálmán (Ózd, József A. g. III. o. t.)

II. megoldás: A jelölést megtartva

S_{n}

így írható

\begin{matrix} S_{n} = (1^{2} + 1 - 1) + (2^{2} + 2 + 1) + (3^{2} + 3 - 1) + ... + [n^{2} + n + {(- 1)}^{n}] . \end{matrix}

Átrendezve

\begin{matrix} S_{n} = (1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2}) + (1 + 2 + ... + n) + \\ + [- 1 + 1 - 1 + ... + {(- 1)}^{n}] . \end{matrix}

De ismeretes, hogy az első zárójelben levő összeg

\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

, a második zárójelben levő összeg pedig a számtani sorozat összegképlete alapján

\frac{n (n + 1)}{2}

; a harmadik zárójelben levő összeg pedig 0, ha

n

páros, és

- 1

, ha

n

páratlan.
Az első két tag összege

\begin{matrix} \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{3 n (n + 1)}{6} = \frac{n (n + 1) (2 n + 4)}{6} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} S_{n} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3} + \frac{{(- 1)}^{n} - 1}{2} . \end{matrix}

Vannay László (Esztergom, Ferences g. IV. o. t.)