Kezdőlap


Feladat:	787. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Argay Gyula
Füzet:	1957/április, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Gömbi geometria, Térfogat, Úszás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/november: 787. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a gömb köbtartalmát $K$ -val, a vízbe merült gömbszelet köbtartalmát $k$ -val, a keresett fajsúlyt $x$ -szel, akkor Archimedes tétele szerint

\begin{matrix} K \cdot x = k \cdot 1, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x = \frac{k}{K} . \end{matrix}

A szárazon maradt gömbsüveg magasságát

m_{1}

-gyel jelölve

\begin{matrix} 2 r π m_{1} = 307, 2, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} m_{1} = \frac{307, 2}{16 π} \sim 6, 113 cm, \end{matrix}

és így a vízbemerült gömbszelet magassága

\begin{matrix} m_{2} = 16 - m_{1} = 9, 887 cm. \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} k = \frac{m_{2}^{2} π}{3} (3 r - m_{2}) = \frac{9, 887^{2} π}{3} \cdot 14, 113, \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} K = \frac{4 \cdot 8^{3} π}{3}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x = \frac{k}{K} = \frac{9, 887^{2} \cdot 14, 113}{4 \cdot 8^{3}} = \frac{9, 887^{2} \cdot 14, 113}{2048} \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 lg & 9, 887 & = & 1, 9902 \\ lg & 14, 11 & = & 1, 1495 \\ Σ & = & 4, 1397 - 1 \\ - lg & 2048 & = & 3, 3114 \\ lg x \end{matrix} \end{matrix}

Tehát a tölgyfa fajsúlya

0, 6734 \frac{grs}{{c m}^{3}}

Argay Gyula (Balassagyarmat, Balassa g. IV. o. t)

Megjegyzés: A tanulók nagy része feleslegesen részeredményeket számított ki numerikusan.