Kezdőlap


Feladat:	786. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Borsi László , Detre Mária
Füzet:	1957/március, 83 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Hozzáírt körök, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/november: 786. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ismeretes, hogy az $a$ oldalhoz hozzáírt $ϱ_{a}$ sugarú körnek érintési pontjai a $b$ és a $c$ oldalak meghosszabbításain az $A$ csúcsponttól $s$ távolságban vannak, tehát

\begin{matrix} ϱ_{a} = s tg \frac{α}{2}, \end{matrix}

hasonlóképpen

\begin{matrix} ϱ_{b} = s tg \frac{β}{2}, és ϱ_{c} = s tg \frac{γ}{2} . \end{matrix}

Felhasználjuk a háromszög félszögfüggvényei és az oldalak közötti összefüggéseket.

\begin{matrix} ϱ_{a} ϱ_{b} = s^{2} tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} = s^{2} \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}} \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - c)}{s (s - b)}} = s^{2} \sqrt[]{\frac{{(s - c)}^{2}}{s^{2}}} = s (s - c) . \end{matrix}

Hasonlóképpen

\begin{matrix} ϱ_{b} ϱ_{c} = s (s - a) és ϱ_{c} ϱ_{a} = (s - b) . \end{matrix}

Összegük

\begin{matrix} ϱ_{a} ϱ_{b} + ϱ_{b} ϱ_{c} + ϱ_{c} ϱ_{a} = s (s - c + s - a + s - b) = s (3 s - 2 s) = s^{2} . \end{matrix}

(I)

Másrészt

\begin{matrix} ϱ_{a} ϱ_{b} ϱ_{c} = s^{3} tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} = & (1) \\ = s^{3} \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}} \cdot \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - c)}{s (s - b)}} \cdot \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b)}{s (s - c)}} = \\ = s^{3} \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{s^{3}}} = s^{3} \sqrt[]{\frac{s (s - a) (s - b) (s - c)}{s^{4}}} = s t \end{matrix}

(I)-et elosztva (1)-gyel és felhasználva a

\begin{matrix} ϱ = \frac{t}{s} \end{matrix}

(2)

összefüggést nyerjük, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{ϱ_{c}} + \frac{1}{ϱ_{a}} + \frac{1}{ϱ_{b}} = \frac{s^{2}}{s t} = \frac{s}{t} = \frac{1}{ϱ} . \end{matrix}

(II)

Végül (1)-et (2)-vel szorozva, nyerjük, hogy

\begin{matrix} ϱ ϱ_{a} ϱ_{b} ϱ_{c} = t^{2} . \end{matrix}

(III)

Borsi László (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)

II. megoldás: Ismeretes, hogy a beírt

ϱ

sugarú kör érintési pontjai a

b

és

c

oldalakon az

A

csúcstól

s

‐

a

távolságban vannak, tehát

\begin{matrix} \frac{ϱ}{s - a} = \frac{ϱ_{a}}{s}, \end{matrix}

amiből az ismert (2) felhasználásával

\begin{matrix} ϱ_{a} = \frac{s ϱ}{s - a} = \frac{t}{s - a}, hasonlóképpen ϱ_{b} = \frac{t}{s - b} és ϱ_{c} = \frac{t}{s - c}, \end{matrix}

(3)

és így

\begin{matrix} ϱ_{a} ϱ_{b} = \frac{t^{2}}{(s - a) (s - b)} = \frac{t^{2} s (s - c)}{s (s - a) (s - b) (s - c)} = s (s - c), \end{matrix}

hasonlóképpen

\begin{matrix} ϱ_{b} ϱ_{c} = s (s - a) és ϱ_{c} ϱ_{a} = s (s - b), \end{matrix}

amiből (I) éppúgy adódik, mint a I. megoldásban.
(3)-ból (2) figyelembevételével

\begin{matrix} \frac{1}{ϱ_{a}} + \frac{1}{ϱ_{b}} + \frac{1}{ϱ_{c}} = \frac{s - a}{t} + \frac{s - b}{t} + \frac{s - c}{t} = \frac{3 s - (a + b + c)}{t} = & (II) \\ = \frac{s}{t} = \frac{1}{ϱ} . \end{matrix}

Végül (2) és (3)-ból

\begin{matrix} ϱ ϱ_{a} ϱ_{b} ϱ_{c} = \frac{t}{s} \cdot \frac{t}{s - a} \cdot \frac{t}{s - b} \cdot \frac{t}{s - c} = \frac{t^{4}}{t^{2}} = t^{2} . \end{matrix}

Detre Mária (Esztergom, Bottyán J. gépip. t. IV. o. t.)