Kezdőlap


Feladat:	785. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beregi Péter , Meskó Attila
Füzet:	1957/március, 81 - 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/november: 785. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Felhasználva a $sin 2 x = 2 sin x cos x = 2 sin x \sqrt[]{1 - sin^{2} x}$ összefüggést (2) így írható:

\begin{matrix} 3 sin α \sqrt[]{1 - sin^{2} α} = 2 sin β \sqrt[]{1 - sin^{2} β} . \end{matrix}

Négyzetreemelve:

\begin{matrix} 9 sin^{2} α (1 - sin^{2} α) = 4 sin^{2} β (1 - sin^{2} β) . \end{matrix}

(3)

(1)-ből

\begin{matrix} sin^{2} α = \frac{1 - 2 sin^{2} β}{3} \end{matrix}

(4)

értéket (3)-ba helyettesítve

\begin{matrix} 9 \cdot \frac{1 - 2 sin^{2} β}{3} (1 - \frac{1 - 2 sin^{2} β}{3}) = 4 sin^{2} β (1 - sin^{2} β), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} sin^{2} β = \frac{1}{3} . \end{matrix}

Mivel

0 < β < 90^{\circ}

, azért

\begin{matrix} sin β = \frac{1}{\sqrt[]{3}} (< \frac{1}{\sqrt[]{2}}), cos β = \sqrt[]{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3}}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} sin 2 β = 2 sin β cos β = \frac{2 \sqrt[]{2}}{3}, \end{matrix}

(5)

ahol

2 β < 90^{\circ}

, mert

β < 45^{\circ}

.
(4)-ből

\begin{matrix} sin^{2} α = \frac{1 - \frac{2}{3}}{3} = \frac{1}{9}, vagyis 0 < α < 90^{\circ} miatt \\ sin α = \frac{1}{3} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} sin (90^{\circ} - α) = cos α = \sqrt[]{1 - sin^{2} α} = \sqrt[]{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt[]{2}}{3} . \end{matrix}

(6)

(5) és (6) egybevetéséből következik

\begin{matrix} 2 β = 90^{\circ} - α, vagyis α + 2 β = 90^{\circ} = \frac{π}{2} . \end{matrix}

Beregi Péter (Bp. VI., Kölcsey g. IV. o. t.)

II. megoldás: Az I. megoldásban lényegében meghatároztuk az

α

és

β

szögeket. Azonban e nélkül is igazolhatjuk a feladat állítását.
A

cos 2 β = 1 - 2 sin^{2} β

összefüggés alkalmazásával (1) a következőképpen írható:

\begin{matrix} cos 2 β = 3 sin^{2} α . \end{matrix}

(7)

(2)-ből

\begin{matrix} sin 2 β = \frac{3}{2} sin 2 α . \end{matrix}

(8)

Írjuk fel a

cos (α + 2 β)

értékét, felhasználva a (7) és (8), valamint a

sin 2 α = 2 sin α cos α

összefüggéseket:

\begin{matrix} cos (α + 2 β) & = cos α cos 2 β - sin α sin 2 β = \\ = cos α \cdot 3 sin^{2} α - sin α \cdot \frac{3}{2} sin 2 α = \\ = 3 sin^{2} α cos α - 3 sin α \cdot sin α \cdot cos α = 0. \end{matrix}

Mivel a feltétel szerint

\begin{matrix} α + 2 β < \frac{π}{2} + 2 \cdot \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}, \end{matrix}

azért szükségképpen

\begin{matrix} α + 2 β = \frac{π}{2} . \end{matrix}

Meskó Attila (Bp. VII., Madách g. III. o. t.)