Kezdőlap


Feladat:	782. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lőrinczy Lajos , Trón Lajos
Füzet:	1957/március, 78 - 79. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Természetes számok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/november: 782. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Alakítsuk át a következőképpen az adott kifejezést:

\begin{matrix} a^{2 n + 1} + {(a - 1)}^{n + 2} = a \cdot a^{2 n} + {(a - 1)}^{2} {(a - 1)}^{n} = \\ = a \cdot a^{2 n} + (a^{2} - a + 1 - a) {(a - 1)}^{n} = (a^{2} - a + 1) {(a - 1)}^{n} + \\ + a [{(a^{2})}^{n} - {(a - 1)}^{n}] . \end{matrix}

Az átalakított kifejezés első tagja osztható

(a^{2} - a + 1)

-gyel, mert ez tényezői között szerepel. A második tag második tényezője is osztható

(a^{2} - a + 1)

-gyel, mert

x^{n} - y^{n}

mindig osztható

(x - y)

-nal. Mivel a két tag mindegyike osztható

(a^{2} - a + 1)

-gyel, ezért az eredeti kifejezés is osztható

(a^{2} - a + 1)

-gyel.

Trón Lajos (Debrecen, Fazekas g. II. o. t.)

II. megoldás: Teljes indukcióval igazoljuk, hogy az állítás már

0

-tól kezdve is igaz.
Az állítás

n = 0

-ra teljesül, mert

\begin{matrix} P_{0} (a) = a + {(a - 1)}^{2} = a + a^{2} - 2 a + 1 = a^{2} - a + 1. \end{matrix}

Tegyük fel, hogy az állítás igaz

n = k

-ra, azaz

\begin{matrix} P_{k} (a) = a^{2 k + 1} + {(a - 1)}^{k + 2} \end{matrix}

osztható

(a^{2} - a + 1)

-gyel.
Ekkor

\begin{matrix} P_{k + 1} (a) = a^{2 k + 3} + {(a - 1)}^{k + 3} = a^{2} \cdot a^{2 k + 1} + (a - 1) {(a - 1)}^{k + 2} = \\ = a^{2} [a^{2 k + 1} + {(a - 1)}^{k + 2}] + (a - 1) {(a - 1)}^{k + 2} - a^{2} {(a - 1)}^{k + 2} = \\ = a^{2} P_{k} (a) - (a^{2} - a + 1) {(a - 1)}^{k + 2}, \end{matrix}

azaz

P_{k + 1}

(a)

is osztható

(a^{2} - a + 1)

-gyel, ha

P_{k} (a)

-ra már igaz az állítás. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Lőrinczy Lajos (Szolnok, Verseghy F. g. III. o. t.)