Kezdőlap


Feladat:	781. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Jáky Mária , Madarász Klára
Füzet:	1957/március, 77 - 78. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/november: 781. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha a második és harmadik tagot polinomokká alakítjuk, és a tagokat átcsoportosítjuk, akkor észrevesszük, hogy $(y - z)$ kiemelhető:

\begin{matrix} A & = x^{3} (y - z) + y^{3} z - y^{3} x + z^{3} x - z^{3} y = \\ = x^{3} (y - z) - x (y^{3} - z^{3}) + y z (y^{2} - z^{2}) = \\ = (y - z) [x^{3} - x (y^{2} + y z + z^{2}) + y z (y - z)] = \\ = (y - z) (x^{3} - x y^{2} - x y z - x z^{2} + y^{2} z + y z^{2}) . \end{matrix}

Mivel

A

szimmetrikus

x

y

z

-ben (

x

y

z

ciklikus felcserélésével

A

önmagába megy át), azért

(z - x)

és

(x - y)

-nek is kiemelhetőnek kell lennie. Csoportosítsuk a második tényezőben a tagokat megfelelő módon:

\begin{matrix} A & = (y - z) [x (x^{2} - y^{2}) - y z (x - y) - z^{2} (x - y)] = \\ = (y - z) (x - y) (x^{2} + x y - y z - z^{2}) = \\ = (y - z) (x - y) [x^{2} - z^{2} + y (x - z)] = \\ = (y - z) (x - y) (x - z) (x + z + y) = - (x - y) (y - z) (z - x) (x + y + z) . \end{matrix}

Madarász Klára (Szeged, Tömörkény lg. II. o. t.)

II. megoldás:

A

tekinthető pl.

x

-ben harmadfokú polinomnak. Ha az

A = 0

egyenlet gyökeit

x_{1}

x_{2}

x_{3}

-mal jelöljük, akkor mint ismeretes

\begin{matrix} A = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}), \end{matrix}

ahol

a

x

-től független állandó.
Vegyük észre, hogy ha

A

-ban

x

helyébe

y

-t vagy

z

-t helyettesítünk,

A

0

-vá válik, tehát

x_{1} = y

és

x_{2} = z

, és így még

a

és

x_{3}

meghatározása van hátra a következő egyenletből:

\begin{matrix} A = x^{3} (y - z) + y^{3} (z - x) + z^{3} (x - y) = a (x - y) (x - z) (x - x_{3}) . \end{matrix}

A bal és jobb oldalon

x

azonos kitevőjű hatványához tartozó együtthatók megegyeznek.

x^{3}

-nak együtthatója a bal oldalon

(y - z)

, a jobb oldalon

a

, tehát

\begin{matrix} a = y - z . \end{matrix}

x^{2}

-nek együtthatója a bal oldalon

0

, a jobb oldalon

- a y - a z - a x_{3}

, tehát

\begin{matrix} - a y - a z - a x = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x_{3} = - (y + z) . \end{matrix}

Eszerint tehát

\begin{matrix} A = (y - z) (x - y) (x - z) (x + y + z) = - (x - y) (y - z) (z - x) (x + y + z) . \end{matrix}

Jáky Mária (Pécs, Bányaip. t. III. o. t.)