Kezdőlap


Feladat:	779. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Máthé Csaba
Füzet:	1957/február, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/október: 779. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A derékszögű gúla három egymásra merőleges élét $x$ , $y$ , $z$ -vel jelölve, a gúla köbtartalma

\begin{matrix} K = \frac{1}{3} z \cdot \frac{x y}{2} = \frac{1}{6} x y z . \end{matrix}

(1)

A gúlánk oldallapjai derékszögű háromszögek, ezekre alkalmazva Pythagoras tételét:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = a^{2}, & (2) \\ x^{2} + z^{2} & = b^{2}, & (3) \\ y^{2} + z^{2} & = c^{2} . & (4) \end{matrix}

E három egyenletet összeadva, és 2-vel osztva

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2} = S^{2} . \end{matrix}

(5)

(5)-ből kivonva rendre (2), (3) és (4)-et, és gyököt vonva:

\begin{matrix} z = \sqrt[]{S^{2} - a^{2}} y = \sqrt[]{S^{2} - b^{2}}, x = \sqrt[]{S^{2} - c^{2}} . \end{matrix}

x

y

z

ezen értékeit (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} K = \frac{1}{6} \sqrt[]{(S^{2} - a^{2}) (S^{2} - b^{2}) (S^{2} - c^{2})}, \end{matrix}

ami bizonyítandó volt.

Máthé Csaba (Győr, Révai g. I. o. t.)