Először szükséges feltételt adunk arra, hogy a háromoldalú csonkagúla köré gömböt írhassunk.
Ha a csonkagúla köré gömb írható, akkor a csonkagúla trapéz oldallapjai egy‐egy kört vágnak ki a gömbből. A körbe írható trapéz azonban ‐ mint ismeretes ‐ egyenlő szárú. A gúla egyik oldaltrapézének szára tehát egyenlő a másikkal, de a szomszédos trapéz lap szintén egyenlő szárú, és így a harmadik oldalél is ugyanolyan hosszú, mint a másik kettő.
Annak szükséges feltétele tehát, hogy a csonkagúla köré gömböt írhassunk, az, hogy a csonkagúla oldalélei egyenlők legyenek.
Megmutatjuk, hogy e feltétel elégséges is. Ha ugyanis a csonkagúla egyenlő oldalélű, akkor a teljes gúla is az, amelyből a csonkagúla származtatható, mert az oldaltrapézek alapján levő szögek egyenlőek. A csonkagúla köré rajzolható gömb középpontja egyenlő távol van a csonkagúla mind a hat csúcsától, s így szükségképpen rajta van a két alapháromszög köré írható körök középpontjában az alapháromszögek síkjaira emelt merőlegeseken, amelyek egybeesnek, mert átmennek a teljes gúla csúcspontján, és mert az alapháromszögek síkjai párhuzamosak. (Ez a két egybeeső merőleges tulajdonképpen a teljes gúla magasságvonala.) Ha az alaplapok $A_1{B}_1{C}_1▵$, $A_2{B}_2{C}_2▵$, és e két háromszög köré írt körök középpontjai $O_1$, illetőleg $O_2$, akkor az $O_1{O}_2{A}_2{A}_1$, $O_1{O}_2{B}_2{B}_1$ és $O_1{O}_2{C}_2{C}_1$ derékszögű trapézek mind egybevágóak. Ha tehát az $O_1{O}_2$ egyenesen megszerkesztjük azt az $O$ pontot, amely $A_1$ és $A_2$-tól egyenlő távolságnyira van, akkor ez az $O$ pont egyszersmind $B_1$, $B_2$, $C_1$ és $C_2$-től is ugyanakkora távol van, és így ez az $O$ pont a tetraéder köré írt gömb középpontja.