Kezdőlap


Feladat:	777. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Frivaldszky Sándor , Heinemann Zoltán , Szatmáry Zoltán
Füzet:	1957/február, 46 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/október: 777. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az egyenletből kiszámítjuk $sin α$ -t. Mivel $α$ és $β$ pótszögek

\begin{matrix} sin α - cos α = \frac{\sqrt[]{2}}{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} sin α - \frac{\sqrt[]{2}}{2} = \sqrt[]{1 - sin^{2} α} . \end{matrix}

Négyzetreemelve és rendezve

\begin{matrix} 2 sin^{2} α - \sqrt[]{2} sin α - \frac{1}{2} = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} sin α = \frac{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{6}}{4} . \end{matrix}

(A másik, negatív gyök nem felel meg a feladatnak, mivel

sin α > 0

\sqrt[]{2}

és

\sqrt[]{6}

körzővel és vonalzóval megszerkeszthető. Ha olyan derékszögű háromszöget szerkesztünk, melynek átfogója 4, egyik befogója

\sqrt[]{2} + \sqrt[]{6}

, akkor a megszerkesztett háromszög

\sqrt[]{2} + \sqrt[]{6}

befogójával szemközti szöge

α

, mellette fekvő szöge

β

Heinemann Zoltán (Pécs, Bányaip. t. IV. o. t.)

II. megoldás: Mivel

β = 90^{\circ} - α

, ezért

sin β = cos α

. Tehát olyan

α

-t kell keresnünk, amelyre fennáll, hogy

\begin{matrix} sin α - cos α = \frac{\sqrt[]{2}}{2} . \end{matrix}

Négyzetre emelve

\begin{matrix} sin^{2} α - 2 sin α cos α + cos^{2} α = \frac{1}{2}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} 2 sin α cos α = sin 2 α = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ezt az egyenletet két (

180^{\circ}

-nál kisebb) szög elégíti ki:

\begin{matrix} 2 α_{1} = 150^{\circ}, és 2 α_{2} = 30^{\circ} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} α_{1} = 75^{\circ}, és [α_{2} = 15^{\circ}] \end{matrix}

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy az utóbbi érték nem elégíti ki egyenletünket. (A négyzetreemelés folytán bekerült hamis gyök.)
A feladat megoldása tehát

\begin{matrix} α = 75^{\circ}, \end{matrix}

mely szög előállítható pl.

45^{\circ} + 30^{\circ}

alakban, ez pedig körzővel és vonalzóval szerkeszthető.

Szatmáry Zoltán (Bp. VIII., Piarista g. IV. o. t.)

III. megoldás: Vegyünk fel két merőleges egyenest az egységsugarú körívvel, és osszuk a derékszöget két részre:

α

-ra és

β

-ra.

Az ábráról

sin α

és

sin β

értéke közvetlenül leolvasható:

O B = sin α

A B = sin β

. Ha

sin β

-t (

= B A

) levonjuk

B O

-ból, akkor a nyert különbség

\begin{matrix} O C = sin α - sin β . \end{matrix}

Ha azt akarjuk tehát, hogy

sin α - sin β = \frac{\sqrt[]{2}}{2}

legyen, akkor megszerkesztjük a

\frac{\sqrt[]{2}}{2}

értéket, ezt fölmérjük a derékszög egyik szárára

O C (< 1)

hosszúság gyanánt.

C

-ből kiinduló,

C B

iránnyal

45^{\circ}

-os szöget bezáró félegyenes metszi ki az egységsugarú körből az

A

pontot. Az

O A

szolgáltatja a kívánt tulajdonságú

α

és

β

szögeket.
Megjegyzés: Látható, hogy ez a szerkesztési mód nemcsak a jelen esetben, hanem mindig alkalmazható, ha olyan

α

-t és

β

-t kell szerkeszteni, melyeknek összege

90^{\circ}

, és amelyek sinusainak különbsége tetszőleges körzővel és vonalzóval szerkeszthető 0 és 1 közötti számérték. Nem kell mást tenni, csupán a számértéknek megfelelő szakaszt megszerkeszteni, és felmérni

O C

gyanánt.

Frivaldszky Sándor (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)