Kezdőlap


Feladat:	774. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gergely Ervin , Máthé Csaba , Tatai Péter
Füzet:	1957/február, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/október: 774. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük törtünket $N$ -nel. Bontsuk tagokra a köböket, és vonjuk össze:

\begin{matrix} N = \frac{x^{2} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{4} z^{2} + y^{2} z^{4} - z^{4} t^{2} + z^{2} t^{4} - t^{4} x^{2} + t^{2} x^{4}}{x y^{2} - x^{2} y - y^{2} z + y z^{2} - z^{2} t + z t^{2} - t^{2} x + t x^{2}} . \end{matrix}

Rendezzünk

y

és

t

hatványai szerint:

\begin{matrix} N = \frac{y^{4} (x^{2} - z^{2}) + y^{2} (z^{4} - x^{4}) + t^{4} (z^{2} - x^{2}) + t^{2} (x^{4} - z^{4})}{y^{2} (x - z) + y (z^{2} - x^{2}) + t^{2} (z - x) + t (x^{2} - z^{2})} = \\ = \frac{(z^{2} - x^{2}) [(z^{2} + x^{2}) (y^{2} - t^{2}) + (t^{4} - y^{4})]}{(z - x) [(z + x) (y - t) + (t^{2} - y^{2})]} = \frac{(z^{2} - x^{2}) (y^{2} - t^{2}) (z^{2} + x^{2} - t^{2} - y^{2})}{(z - x) (y - t) (z + x - y - t)} \end{matrix}

Feltéve, hogy

x \neq z

és

y \neq t

osztjuk a számlálót és nevezőt

(z - x) (y - t)

-vel kapjuk, hogy

\begin{matrix} N = \frac{(x + z) (y + t) (x^{2} - y^{2} - t^{2} + z^{2})}{x - y - t + z} . \end{matrix}

Máthé Csaba (Győr, Révai g. I. o. t.)

II. megoldás: A számláló és a nevező négy olyan szám köbének összege, amely négy szám összege nulla. Ha pedig

a + b + c + d = 0

, akkor az ebből kapott

a + b = - (c + d)

egyenlőség mindkét oldalát köbreemelve

\begin{matrix} a^{3} + 3 a b (a + b) + b^{3} = - [c^{3} + 3 c d (c + d) + d^{3}], \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = - 3 a b (a + b) - 3 c d (c + d) = \\ = - 3 a b (a + b) - 3 c d [- (a + b)] = 3 (a + b) (c d - a b) . \end{matrix}

Ennek alapján az adott tört így írható:

\begin{matrix} \frac{3 (x^{2} - z^{2}) [(z^{2} - t^{2}) (t^{2} - x^{2}) - (x^{2} - y^{2}) (y^{2} - z^{2})]}{3 (x - z) [(z - t) (t - x) - (x - y) (y - z)]} = \\ = \frac{(x + z) [(y^{4} - t^{4}) - x^{2} (y^{2} - t^{2}) - z^{2} (y^{2} - t^{2})]}{(y^{2} - t^{2}) - x (y - t) - z (y - t)} = \\ = \frac{(x + z) (y^{2} - t^{2}) (y^{2} + t^{2} - x^{2} - z^{2})}{(y - t) (y + t - x - z)} = \frac{(x + z) (y + t) (x^{2} - y^{2} + z^{2} - t^{2})}{x - y + z - t} \end{matrix}

ismét feltételezve, hogy

x - z \neq 0

y - t \neq 0

Tatai Péter (Bp. XIV., I. István g. II. o. t.)

III. megoldás: A nevező

x

másodfokú polinomjaként fogható fel, minthogy az első és negyedik tagból adódó harmadfokú tagok összege nulla. A polinommá alakítás tényleges elvégzése nélkül behelyettesítéssel közvetlenül belátható, hogy e polinom nullhelyei

x = z

és

x = y - z + t

. Az első és negyedik tagból

x^{2}

együtthatója:

- 3 y + 3 t = - 3 (y - t)

. Tehát a nevező azonos a következő szorzattal:

\begin{matrix} - 3 (y - t) (x - z) (x - y + z - t) . \end{matrix}

x

y

t

z

helyébe rendre

x^{2}

y^{2}

t^{2}

z^{2}

-et írunk, a számlálót kapjuk meg. Így törtünk értéke (ha

x \neq z

y \neq t

\begin{matrix} \frac{- 3 (y^{2} - t^{2}) (x^{2} - z^{2}) (x^{2} - y^{2} + z^{2} - t^{2})}{- 3 (y - t) (x - z) (x - y + z - t)} = \\ = \frac{(x + z) (y + t) (x^{2} - y^{2} + z^{2} - t^{2})}{x - y + z - t} . \end{matrix}

Gergely Ervin (Bp. IV., Könyves Kálmán g. IV. o. t.)