Kezdőlap


Feladat:	773. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók Károly , Gergely Ervin
Füzet:	1957/február, 41 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/október: 773. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a vizsgálandó kifejezést f $(n)$ -nel, s alakítsuk át a következőképpen:

\begin{matrix} f (n) = n x^{n + 1} (1 - \frac{1}{x}) - x^{n} (1 - \frac{1}{x^{n}}) = n x^{n + 1} - (n + 1) x^{n} + 1. \end{matrix}

Az utóbbi alakban fogjuk bizonyítani

n

-re vonatkozó teljes indukcióval, hogy osztható

{(x - 1)}^{2}

-tel.
Tegyük fel, hogy

n = k

esetén f

(k)

osztható

{(x - 1)}^{2}

-tel, bizonyítjuk, hogy ebből következik, hogy

f (k + 1)

is osztható vele. Vegyük a kettő különbségét:

\begin{matrix} f (k + 1) - f (k) = (k + 1) x^{k + 2} - (k + 2) x^{k + 1} + 1 - k x^{k + 1} + (k + 1) x^{k} - 1 = \\ = (k + 1) x^{k + 2} - 2 (k + 1) x^{k + 1} + (k + 1) x^{k} = (k + 1) x^{k} (x^{2} - 2 x + 1) = \\ = (k + 1) x^{k} {(x - 1)}^{2} . \end{matrix}

(k + 1) - f (k)

tehát osztható

{(x - 1)}^{2}

-tel, viszont feltevésünk szerint f

(k)

is, ekkor pedig f

(k + 1)

-nek is oszthatónak kell lennie.
Mivel

n = 1

-re igaz az állításunk, mert f

(1) = x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2}

, azért minden természetes számra igaz.

Gergely Ervin (Bp. IV., Könyves Kálmán g. IV. o. t.)

II. megoldás: Az adott kifejezést a következő alakban írhatjuk:

\begin{matrix} n x^{n + 1} - n x^{n} - x^{n} + 1 = n x^{n} (x - 1) - (x^{n} - 1) = \\ = (x - 1) [n x^{n} - (x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + x + 1)] = \\ = (x - 1) [(x^{n} - x^{n - 1}) + (x^{n} - x^{n - 2}) + ... + (x^{n} - x) + (x^{n} - 1)] . \end{matrix}

A szögletes zárójelben levő minden különbség osztható

(x - 1)

-gyel, tehát a kifejezésből kiemelhető

{(x - 1)}^{2}

. (Erre abból is következtethettünk volna, hogy a szögletes zárójelben levő kifejezés az

x = 1

helyen 0-vá válik.)

Bartók Károly (Székesfehérvár, József A. g. IV. o. t.)