A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Rendezzük át egyenleteinket a következő alakba:
Az (1), (2) egyenletrendszer összes megoldásait meghatározva vizsgáljuk meg, hogy milyen értékei mellett elégítik ki azok a (3) egyenletet. (1) és (2) jobboldalait egyenlővé téve ahonnan -et (2)-be helyettesítve amiből behelyettesítése után | | amiből (1) és (2) gyökei tehát (0, 0); (0, ); és a kétszeresen számító (, 3). Ezeket az értékpárokat rendre (3)-ba helyettesítve
Az első két értékpár λ=9 esetén elégíti ki mind a három egyenletet, míg a harmadik értékpár λ bármely értékénél kielégíti azokat. Minthogy az (1), (2) összes megoldásait figyelembe vettük, több megoldása nem is lehet az egyenletrendszernek. A feladat és megoldás geometriai értelmezéséhez alakítsuk át az egyenleteket. (1)-ben hozzunk minden tagot a baloldalra és azután adjuk mindkét oldalhoz 32+42-t. x2-8x+16+y2-6y+9=25,(x-4)2+(y-3)2=52.(1')
Ez kör egyenlete, melynek, sugara 5 egység, középpontjának koordinátái: (4, 3). (2) hasonló átalakítása után kapjuk Ez ellipszis egyenlete, melynek középpontja a (0, 3) pont, fél nagytengelye 3 egység, fél kis tengelye 1 egység, és nagytengelye a koordinátarendszer y tengelyén van. (3) átalakított alakja: Ez parabolasereget jellemez. Közös tengelyük párhuzamos az x tengellyel, de 3 egységgel fel van tolva az y tengely mentén. Közös csúcspontjuk a (-1, 3) pont. A λ paraméter egyrészt a parabola szárai szétágazásának mértékét befolyásolja, másrészt meghatározza azt, hogy a parabolák az x=-1 egyenestől jobbra (λ>0), vagy balra (λ<0) helyezkednek el. λ=0 esetben az y=3 egyenessé fajult parabolát kapjuk. A feladat abból állt, hogy meghatározzuk λ milyen értéke mellett van a három görbének közös pontja. Az első lépés a kör és ellipszis közös pontjainak megkeresése. Kiszámítottuk, hogy ezek a (0, 0), (0, 6) pontokban metszik, a (-1, 3) pontban pedig érintik egymást. (L. az ábrát).
A (-1, 3) pont egyúttal a parabolasereg közös csúcspontja, ezért λ választásától függetlenül ez mindig közös pontja a három görbének. Mivel y=3 magasságban a kistengellyel párhuzamosan húzott egyenes mindhárom görbének szimmetria tengelye, és a (0, 0), (0, 6) pontok erre nézve egymás tükörképei, így, ha λ-t úgy választjuk, hogy az egyik ponton átmenjen a parabola, akkor az már a másik metszésponton is átmegy; ez a λ=9 értékre következik be. (A λ=9 értékhez tartozó parabolát a rajzon technikai okokból nem tüntettük fel, túl közelre esik a körhöz.) A feladat geometriai elemzése elvezet magához a megoldáshoz is, ezért ez második megoldási módnak tekinthető.
Tatár Iván (Debrecen, Ref. g. IV. o. t.) |
Rockenbauer Antal (Bp. X., I. László g. IV. o. t.) |
|