| Feladat: | 769. matematika feladat | Korcsoport: 16-17 | Nehézségi fok: átlagos |
| Megoldó(k): | Csapodi Csaba | ||
| Füzet: | 1957/január, 13 - 14. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Síkgeometriai szerkesztések, Parabola, mint mértani hely, Feladat | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1956/szeptember: 769. matematika feladat | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ismeretes, hogy az érintési pont merőleges vetülete a vezéregyenesen egyszersmind a fókusznak az érintőre vonatkozó tükörképe, vagyis az érintési ponton át a tengellyel párhuzamosan húzott egyenesnek az érintőre vonatkozó tükörképe átmegy a fókuszon. Ismeretes továbbá az is, hogy két érintő metszéspontját az érintési pontok által meghatározott húr felezőpontjával összekötő egyenes párhuzamos a tengellyel (ld. K. M. L. 555. feladat, 1954. március, 76‐77 old.).  Ezek alapján a szerkesztés menete a következő (ld. az ábrát, amely a betűzést is mutatja): az adott két érintő metszéspontját összekötjük a húr felezőpontjával. A és pontokon át -val húzott párhuzamos egyenesek tükörképei metszik egymást az fókuszban. Az fókusznak az érintőkre vonatkozó és tükörképei rajta vannak a vezéregyenesen. A fókusz és vezéregyenes ismeretében a parabola ismertnek tekinthető. Az adott két érintő nem lehet egymással párhuzamos. Tehát az pont mindig létezik. A két tükörkép‐egyenes is mindig metszi egymást egy pontban, kivéve azt a triviális esetet, amikor és a paraméter végpontjai. Ez esetben ugyanis a két tükörkép‐egyenes a egyenesbe esik egybe, és nem szolgáltat pontot, de a szimmetria viszonyok miatt nyilván a húr felezőpontja az pont. Tehát (ha a két adott érintő nem párhuzamos egymással), mindig van egy és csakis egy megoldás.
|