Kezdőlap


Feladat:	767. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám Antal , Frivaldszky Sándor
Füzet:	1957/január, 10 - 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Logaritmusos egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/szeptember: 767. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mivel a logaritmus alapja pozitív, azért kell, hogy

\begin{matrix} \pm 2 k π < x < \frac{π}{2} \pm 2 k π k = 0,1,2, ... \end{matrix}

(1)

Térjünk a 10 alapú logaritmusra.
Az előbbi feladat I. megoldásában bebizonyított

\begin{matrix} {log}_{}^{⌣_{}^{a}} x = \frac{{log}_{}^{⌣_{}^{b}} x}{{log}_{}^{⌣_{}^{b}} a} \end{matrix}

azonosság alapján egyenletünk így írható:

\begin{matrix} \frac{lg sin x}{lg cos x} + \frac{lg cos x}{lg sin x} = 2, \end{matrix}

(2)

vagyis, mivel az (1)-nek megfelelő

x

értékekre a nevezők nem tűnnek el

\begin{matrix} {(lg sin x)}^{2} + {(lg cos x)}^{2} = 2 (lg sin x) (lg cos x), \end{matrix}

és így

\begin{matrix} {(lg sin x - lg cos x)}^{2} = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} lg sin x - lg cos x = 0, vagyis sin x = cos x, \end{matrix}

ahonnan (1) figyelembevételével

\begin{matrix} x = \frac{π}{4} \pm 2 k π (k = 0,1,2, ...) \end{matrix}

Frivaldszky Sándor (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)

II. megoldás: Ha

{log}_{}^{⌣_{}^{u}} v = z

, akkor

u^{z} = v

, vagyis

u = v^{\frac{1}{z}}

, és így

\frac{1}{z} = {log}_{}^{⌣_{}^{v}} u

, amiből

\begin{matrix} z = \frac{1}{{log}_{}^{⌣_{}^{v}} u} . \end{matrix}

Ezt az átalakítást alkalmazva a baloldal második tagjára:

\begin{matrix} {log}_{}^{⌣_{}^{cos x}} sin x + \frac{1}{{log}_{}^{⌣_{}^{cos x}} sin x} = 2. \end{matrix}

{log}_{}^{⌣_{}^{cos x}} sin x

-re másodfokú egyenlet. Rendezve

\begin{matrix} {(log}_{}^{⌣_{}^{cos x}} sin x - 1)^{2} = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} {log}_{}^{⌣_{}^{cos x}} sin x = 1, vagyis cos x = sin x . \end{matrix}

Ebből felhasználva, hogy itt

sin x > 0

cos x > 0

tartozik lenni,

\begin{matrix} x = (8 k + 1) \frac{π}{4} (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...) \end{matrix}

III. megoldás: Egyenletünket a következő fogással alakítjuk át:

\begin{matrix} {log}_{}^{⌣_{}^{cos x}} sin x + {log}_{}^{⌣_{}^{sin x}} cos x = 2 = 1 + 1 = {log}_{}^{⌣_{}^{cos x}} cos x + {log}_{}^{⌣_{}^{sin x}} sin x . \end{matrix}

Átrendezve

\begin{matrix} {log}_{}^{⌣_{}^{cos x}} sin x - {log}_{}^{⌣_{}^{cos x}} cos x = {log}_{}^{⌣_{}^{sin x}} sin x - {log}_{}^{⌣_{}^{sin x}} cos x, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {log}_{}^{⌣_{}^{cos x}} \frac{sin x}{cos x} = {log}_{}^{⌣_{}^{sin x}} \frac{sin x}{cos x} . \end{matrix}

Ez pedig akkor igaz, ha vagy az alapok egyenlőek, vagy a logaritmálandó mennyiség értéke 1. Mindkét esetben tehát

\begin{matrix} cos x = sin x . \end{matrix}

Ádám Antal (Bp. VIII., Széchenyi g. IV. o. t.)