Feladat: 766. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Abos András ,  Borsi László 
Füzet: 1957/január, 9 - 10. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/szeptember: 766. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az azonosságok csak pozitív valós számokra vannak értelmezve. Kikötés: a, b≠1.
Ha log⌣ax=p, ez azt jelenti, hogy ap=x, és így plog⌣ba=log⌣bx, vagyis
p=log⌣bxlog⌣ba,azazlog⌣bx=log⌣bxlog⌣ba.
Ezt x helyett y-nál is alkalmazva
log⌣axlog⌣ay=log⌣bxlog⌣ba:log⌣bylog⌣ba=log⌣bxlog⌣by,
ami bizonyítandó volt.
2) Fentebb láttuk, hogy
log⌣abc=log⌣aclog⌣aab=log⌣acblog⌣aa=log⌣acb,
de éppen ezt kellett bizonyítani.
 

Abos András (Bp. VIII., Vörösmarty g. IV. o. t.)

 

II. megoldás: 1) Ha a baloldalt A-val jelöljük, akkor
log⌣ax=Alog⌣ay=log⌣ayA,
vagyis
x=yA.

Vegyük mindkét oldal b alapú logaritmusát:
log⌣bx=Alog⌣by,amibőlA=log⌣bxlog⌣by,
ami bizonyítandó volt.
2) Legyen log⌣abc=x, akkor
c=abx.
Mindkét oldal a alapú logaritmusát véve:
log⌣ac=bx,amibőlx=log⌣acb.

Borsi László (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)