Kezdőlap


Feladat:	763. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pogány Eörs
Füzet:	1956/december, 148 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körhengerek, Terület, felszín, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/május: 763. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott egyenes körhenger felszíne $F = 2 r^{2} π + 2 r π m$ és köbtartalma $V = r^{2} π m$ .
Legyen a másik egyenes körhenger sugara $r_{1}$ , magassága $m_{1}$ , tehát felszíne, ill. köbtartalma $F_{1} = 2 r_{1}^{2} π + 2 r_{1} π m_{1}$ és $V_{1} = r_{1}^{2} π m_{1}$ .
A feladat szerint

\begin{matrix} 2 r^{2} π + 2 r π m = 2 r_{1}^{2} π + 2 r_{1} π m és r^{2} π m = r_{1}^{2} π m_{1}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} r^{2} + m r = r_{1}^{2} + m_{1} r_{1}, & (1) \\ r^{2} m = r_{1}^{2} m_{1} . & (2) \end{matrix}

Az (1) és (2) egyenletekből álló egyenletrendszert kell megoldani

r_{1}

és

m_{1}

ismeretlenekre nézve.
(1)-ből

\begin{matrix} m_{1} = \frac{r^{2} + m r - r_{1}^{2}}{r_{1}}, \end{matrix}

(2)-ből

\begin{matrix} m_{1} = \frac{m r^{2}}{r_{1}^{2}} . \end{matrix}

Tehát:

\begin{matrix} \frac{m r^{2}}{r_{1}^{2}} = \frac{r^{2} + m r - r_{1}}{r_{1}} . \end{matrix}

r_{1}^{2}

-tel szorozva és rendezve:

\begin{matrix} r_{1}^{3} - r^{2} r_{1} - m r r_{1} + m r^{2} = 0. \end{matrix}

(3)

Nyilvánvaló, hogy (1) és (2) egyenletrendszert kielégíti az

r_{1} = r

és

m_{1} = m

gyökpár.
A (3) egyenletet osztva az

(r_{1} - r)

gyöktényezővel az

\begin{matrix} r_{1}^{2} + r r_{1} - m r = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenletet kapjuk, amelyből

\begin{matrix} r_{1} = \frac{- r \pm \sqrt[]{r^{2} + 4 m r}}{2} . \end{matrix}

A feladat természetéből adódik, hogy

r_{1} > 0

, ezért a megfelelő gyök:

\begin{matrix} r_{1} = \frac{\sqrt[]{r^{2} + 4 m r} - r}{2} \end{matrix}

és így (2) alapján

\begin{matrix} m_{1} = \frac{1}{r_{1}^{2}} \cdot m r^{2} = \frac{r + 2 m + \sqrt[]{r^{2} + 4 m r}}{2 m^{2} r} \cdot m r^{2} = \frac{r^{2} + 2 m r + r \sqrt[]{r^{2} + 4 m r}}{2 m} . \end{matrix}

A megadott numerikus értékekkel:

r_{1} = \frac{\sqrt[]{8^{2} + 4 \cdot 48 \cdot 8} - 8}{2 m^{2} r} = \frac{\sqrt[]{1600} - 8}{2} = 16 cm

m_{1} = \frac{m r^{2}}{r_{1}^{2}} = \frac{48 \cdot 8^{2}}{16^{2}} = 12 cm

.
Ha a második henger azonos az elsővel, akkor

r = \frac{\sqrt[]{r^{2} + 4 m r} - r}{2},

vagyis

3 r = \sqrt[]{r^{2} + 4 m r}

.

Négyzetreemelve és rendezve kapjuk, hogy

2 r^{2} - m r = 0

, amiből az

r = 0

triviális gyöktől eltekintve

\begin{matrix} r = \frac{m}{2} . \end{matrix}

Tehát a második henger akkor azonos az elsővel, ha az adott henger sugara a magasság fele, vagyis a henger egyenlő oldalú.

Pogány Eörs (Bp. V., Eötvös J. g. III. o. t.)