Kezdőlap


Feladat:	762. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Danassy Károly
Füzet:	1956/december, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Mértani helyek, Terület, felszín, Térelemek és részeik, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/május: 762. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az adott gömb középpontját $O$ -val. Tekintsünk egy megfelelő $P$ pontot, és azon átmenő három, egymásra páronként merőleges érintő síkot. Ezen érintő síkok mindegyikével párhuzamos érintő síkot fektetve a gömbhöz, egy, a gömb köré írt, $2 r$ élhosszúságú kockához jutunk. E kocka minden csúcspontja megfelel a feladat követelményeinek. E csúcspontok, és így a feltételt kielégítő összes pontok, rajta vannak azon az adott gömbbel koncentrikus $G$ gömbfelületen, amelynek sugara $O P$ , a kocka testátlójának fele, vagyis $O P = r \sqrt[]{3}$ . Egy ilyen kockát $O$ körül forgatva a $G$ gömbfelület bármely pontjába elforgatható a kocka egyik csúcspontja (s közben a többi csúcs is a $G$ felületén mozog), vagyis $G$ minden pontja megfelelő pont. Tehát a $P$ pontok keresett mértani helye a $G$ gömbfelület.
a) Az adott $r$ sugarú gömbön levő érintési pontok szabályos háromszöget alkotnak, melynek oldala két szomszédos kockalap középpontjának egymástól való távolsága: $r \sqrt[]{2}$ . Mivel egy $a$ oldalú szabályos háromszög köré írt kör sugara $\frac{2}{3} \cdot \frac{a}{2} \sqrt[]{3} = \frac{a}{3} \sqrt[]{3}$ , azért a $k$ kör sugara

\begin{matrix} ϱ = \frac{1}{3} r \sqrt[]{2} \cdot \sqrt[]{3} = \frac{r \sqrt[]{6}}{3} . \end{matrix}

A gömbsüveg felszíne

\begin{matrix} F_{1} = 2 r π m = 2 r π (r - \sqrt[]{r^{2} - ϱ^{2}}) = \frac{2 (3 - \sqrt[]{3})}{3} r^{2} π . \end{matrix}

b) A kúp alkotójának hossza az érintési pontok távolsága a

P

-től, ami nem egyéb, mint a kockalap átlójának a fele:

r \sqrt[]{2}

. (A három érintési pont és a

P

pont tehát egy szabályos tetraédernek 4 csúcsa.)
A kúppalást felszíne

\begin{matrix} F_{2} = ϱ π r \sqrt[]{2} = \frac{r \sqrt[]{6}}{3} r \sqrt[]{2} π = \frac{2 \sqrt[]{3}}{3} r^{2} π . \end{matrix}

A két felszín aránya

\begin{matrix} \frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{3 - \sqrt[]{3}}{\sqrt[]{3}} = \sqrt[]{3} - 1. \end{matrix}

Danassy Károly (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. II. o. t.)