A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Jelöljük az ellipszis fókuszait , -vel, nagytengelyének hosszát -val. A keresett metszéspontok ‐ mint ismeretes ‐ az egyenesen fekvő olyan körök középpontjai, amely körök érintik az középpontú sugarú, ún. iránykört, és átmennek az fókuszon. Tehát mindenekelőtt megszerkesztjük a fókuszokat. Képzeljük el a , köré írt középpontú kört (1. ábra). 1. ábra A -ben -re húzott merőleges felezi a és vezérsugarak alkotta szöget, tehát felezi a körívet is egy pontban. Az szakasz felezőpontjában, -ban -re húzott merőlegesen lesz rajta a pont is, a pont is. Tehát a -ben -re, -ban -re húzott merőlegesek metszéspontja szolgáltatja a pontot. A szakaszt merőlegesen felező egyenes metszi ki -ból az köré írt kör középpontját. A pont körül sugárral rajzolt kör metszéspontjai -szel lesznek az és fókuszok. Ha a pont a -től által el van választva, akkor van megoldás az ellipszisre nézve. Ha , akkor az ellipszis körré fajul, ha az -nek ugyanarra az oldalára esik, mint , akkor már az ellipszisre sincs megoldás. -et az egyenes -n túli meghosszabbítására forgatva, megkaptuk az távolságot is. Rajzoljuk meg körül a sugarú kört. Képzeljük el , ill. metszéspontok körül rajzolt -n átmenő és a kört , ill. -ben érintő és köröket. A és körök átmennek az -nek az -re vonatkozó tükörképén is. Az és pontokban a közös érintők metszéspontja a , és körök közös hatványpontja. Tehát, ha -t meg tudjuk szerkeszteni, akkor megkapjuk az és pontokat is. A egyrészt rajta van a és körök hatványvonalán. Másrészt az és pontokon át tetszőleges olyan kört rajzolva, mely -t metszi, az és metszéspontok összekötése metszi ki az hatványvonalból a pontot. -ből a -hoz húzott érintők érintési pontjai és . és egyenesek metszik ki az adott -ből a keresett , illetőleg metszéspontokat. Két különböző metszéspontot kapunk, ha a körön belül van, a két metszéspont egybeesik, ha rajta van a -n. (Ez esetben érinti az ellipszist), és nincs megoldás, ha a körön kívül van, mert ez esetben az húr végpontjai az egyenes által szét vannak választva, és így a pont a kör belsejébe kerül.
Schipp Ferenc (Mohács, Kisfaludy g. III. o. t.) | II. megoldás: Egyszerűbb a szerkesztés, ha felhasználjuk az ellipszis és főköre közti orthogonális affinitást, amelynek tengelye az egyenes. (Orthogonálisnak mondunk egy affinitást, ha iránya merőleges a tengelyre.) 2. ábra Először is megszerkesztjük az ellipszis affin megfelelőjét, a főkört. Ehhez elég a érintési pont megfelelőjét, a -t megszerkeszteni a körön. A -ben érintő körérintő ugyanabban pontban metszi az tengelyt (2. ábra), mint az adott ellipszis-érintő, és így -re, vagyis a rajta van az szakasz fölé, mint átmérő fölé rajzolt Thales-körön. Másrészt rajta van a -n átmenő, -re merőleges affin sugáron. Ezen merőleges metszi ki a Thales körből a pontot. A középpontú, sugarú kör a főkör, feltéve, hogy e körön belül van. Ha e körön kívül van, akkor már az ellipszisre nézve sincs megoldás. Ha , akkor az ellipszis körré fajul. A szerkesztés második része: megszerkesztjük az adott egyenesnek affin megfelelőjét, -t a kör-rendszerben. Az és metszéspontja önmagának felel meg , és metszéspontját -sel jelölve, rajta van a -n, és affin sugarán. . metszéspontjai -vel legyenek és , ezeknek affin megfelelői az egyenesen: és a keresett metszéspontok. Két különböző, két egybeeső, vagy nincs metszéspont aszerint, amint két különböző pontban metszi, érinti, vagy nem metszi a főkört.
Bartha Gyöngyi (Bp. VIII., Apáczai Csere g. III. o. t.) |
|