Kezdőlap


Feladat:	760. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha Gyöngyi , Schipp Ferenc
Füzet:	1956/december, 144 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merőleges affinitás, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/május: 760. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük az ellipszis fókuszait $F_{1}$ , $F_{2}$ -vel, nagytengelyének hosszát $2 a$ -val. A keresett metszéspontok ‐ mint ismeretes ‐ az $e$ egyenesen fekvő olyan körök középpontjai, amely körök érintik az $F_{1}$ középpontú $2 a$ sugarú, ún. iránykört, és átmennek az $F_{2}$ fókuszon. Tehát mindenekelőtt megszerkesztjük a fókuszokat.
Képzeljük el a $F_{1} P F_{2} ▵$ , köré írt $K$ középpontú kört (1. ábra).

1. ábra

P

-ben

t

-re húzott merőleges felezi a

P F_{1}

és

P F_{2}

vezérsugarak alkotta szöget, tehát felezi a

\hat{F_{1} F_{2}}

körívet is egy

H

pontban. Az

F_{1} F_{2}

szakasz felezőpontjában,

O

-ban

x

-re húzott merőlegesen lesz rajta a

H

pont is, a

K

pont is.
Tehát a

P

-ben

t

-re,

O

-ban

x

-re húzott merőlegesek metszéspontja szolgáltatja a

H

pontot. A

P H

szakaszt merőlegesen felező egyenes metszi ki

O H

-ból az

F_{2} P F_{2} ▵

köré írt kör

K

középpontját. A

K

pont körül

K P = K H

sugárral rajzolt kör metszéspontjai

x

-szel lesznek az

F_{1}

és

F_{2}

fókuszok. Ha a

H

pont a

P

-től

x

által el van választva, akkor van megoldás az ellipszisre nézve. Ha

H \equiv 0

, akkor az ellipszis körré fajul, ha

H

x

-nek ugyanarra az oldalára esik, mint

P

, akkor már az ellipszisre sincs megoldás.

F_{1}

-et az

F_{2} P

egyenes

P

-n túli meghosszabbítására forgatva, megkaptuk az

F_{1} P + P F_{2} = F_{1}^{*} P + P F_{2} = 2 a

távolságot is.
Rajzoljuk meg

F_{1}

körül a

2 a

sugarú

k

kört. Képzeljük el

M_{1}

, ill.

M_{2}

metszéspontok körül rajzolt

F_{2}

-n átmenő és a

k

kört

E_{1}

, ill.

E_{2}

-ben érintő

k_{1}

és

k_{2}

köröket. A

k_{1}

és

k_{2}

körök átmennek az

F_{2}

-nek az

e

-re vonatkozó

F'_{2}

tükörképén is. Az

E_{1}

és

E_{2}

pontokban a közös érintők metszéspontja

W

k

k_{1}

és

k_{2}

körök közös hatványpontja. Tehát, ha

W

-t meg tudjuk szerkeszteni, akkor megkapjuk az

E_{1}

és

E_{2}

pontokat is.
A

W

egyrészt rajta van a

k_{1}

és

k_{2}

körök

F_{2} F'_{2}

hatványvonalán. Másrészt az

F_{2}

és

F'_{2}

pontokon át tetszőleges olyan kört rajzolva, mely

k

-t metszi, az

U

és

V

metszéspontok összekötése metszi ki az

F_{2} F'_{2}

hatványvonalból a

W

pontot.

W

-ből a

k

-hoz húzott érintők érintési pontjai

E_{1}

és

E_{2}

F_{1} E_{1}

és

F_{1} E_{2}

egyenesek metszik ki az adott

e

-ből a keresett

M_{1}

, illetőleg

M_{2}

metszéspontokat.
Két különböző metszéspontot kapunk, ha

F'_{2}

k

körön belül van, a két metszéspont egybeesik, ha

F'_{2}

rajta van a

k

-n. (Ez esetben

e

érinti az ellipszist), és nincs megoldás, ha

F'_{2}

k

körön kívül van, mert ez esetben az

U V

húr végpontjai az

F_{2} F'_{2}

egyenes által szét vannak választva, és így a

W

pont a

k

kör belsejébe kerül.

Schipp Ferenc (Mohács, Kisfaludy g. III. o. t.)

II. megoldás: Egyszerűbb a szerkesztés, ha felhasználjuk az ellipszis és főköre közti orthogonális affinitást, amelynek tengelye az

x

egyenes. (Orthogonálisnak mondunk egy affinitást, ha iránya merőleges a tengelyre.)

2. ábra

Először is megszerkesztjük az ellipszis affin megfelelőjét, a

k'

főkört. Ehhez elég a

P

érintési pont megfelelőjét, a

P'

-t megszerkeszteni a

k'

körön. A

P'

-ben érintő

t'

körérintő ugyanabban

Q

pontban metszi az

x

tengelyt (2. ábra), mint az adott

t

ellipszis-érintő, és így

t' ⊥ O P'

-re, vagyis a

P'

rajta van az

O Q

szakasz fölé, mint átmérő fölé rajzolt Thales-körön. Másrészt

P'

rajta van a

P

-n átmenő,

x

-re merőleges affin sugáron. Ezen merőleges metszi ki a Thales körből a

P'

pontot. A

O

középpontú,

O P'

sugarú kör a főkör, feltéve, hogy

P

e körön belül van. Ha

P

e körön kívül van, akkor már az ellipszisre nézve sincs megoldás. Ha

P \equiv P'

, akkor az ellipszis körré fajul.
A szerkesztés második része: megszerkesztjük az adott

e

egyenesnek affin megfelelőjét,

e'

-t a kör-rendszerben. Az

e

és

x

metszéspontja

R

önmagának felel meg

(R' = R)

e

és

t

metszéspontját

S

-sel jelölve,

S'

rajta van a

t'

-n, és

S

affin sugarán.

S' R = e'

e'

metszéspontjai

k'

-vel legyenek

M'

és

N'

, ezeknek affin megfelelői az

e

egyenesen:

M

és

N

a keresett metszéspontok. Két különböző, két egybeeső, vagy nincs metszéspont aszerint, amint

e'

két különböző pontban metszi, érinti, vagy nem metszi a főkört.

Bartha Gyöngyi (Bp. VIII., Apáczai Csere g. III. o. t.)