Feladat: 759. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Argay Gy. ,  Bácsy E. ,  Bartha Gyöngyi ,  Bartók K. ,  Bódog I. ,  Borsi L. ,  Csaró Zs. ,  Csiszár I. ,  Dormány M. ,  Endrődy T. ,  Fekete Gy. ,  Frivaldszky S. ,  Győry K. ,  Hoffmann Gy. ,  Király E. ,  Kozma T. ,  Krem A. ,  Makkai M. ,  Mályusz K. ,  Parlagh Gy. ,  Solt Gy. ,  Soós T. ,  Szabados J. ,  Szatmári G. ,  Szatmári Z. ,  Szeidl B. ,  Tóth László ,  Ujteleki Mária ,  Vásárhelyi B. ,  Veszely Gy. ,  Wollner R. ,  Zaránd Pál ,  Zaránd Péter 
Füzet: 1956/december, 143 - 144. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Fizikai jellegű feladatok, Tengelyes tükrözés, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Geometriai szerkesztések alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/május: 759. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Legyen a mozgó pont pályája APQB, ahol P a BC, Q a CA oldalon van; legyen A-nak BC-re vonatkozó tükörképe A', B-nek CA-ra vonatkozó tükörképe B'. A visszaverődés törvénye szerint QPC=APB=A'PB és PQC=BQA=B'QA, tehát A', P, Q, B' egy egyenesbe esik. Ennek alapján a pont útja megszerkeszthető.

 

 

A megoldhatóság feltétele az, hogy A'B' messe mind a BC, mind a CA oldalt (lásd az ábrát).
A háromszög szögeit rendre α, β, γ-val jelölve, ennek első feltétele, hogy az A'CB'=3γ<180 legyen, vagyis
γ<60.(1)

Ha (1) teljesül, akkor α90-γ2 esetén a feladat nyilvánvalóan mindig megoldható.
Ha αβ, akkor ‐ a golyó menetirányának megfordíthatósága miatt ‐ A és B szerepe felcserélhető, és így nem megy az általánosság rovására, ha feltesszük, hogy α>β, vagyis CA<CB. Tehát ha A'B' metszi a CA oldalt, akkor szükségképpen metszi a CB oldalt is.
Az A'B' egyenes ‐ (1) teljesülését feltételezve ‐ akkor és csakis akkor metszi a CA oldalt, ha az
A'AB'=A'AC+α=90-γ+α<180,
vagyis
α<90+γ.(2)

Mivel mindig fennáll, hogy α+β=180-γ, vagyis α<180-γ, azért
45<γ<60
esetén (2) mindig teljesül.
Tehát a megoldhatóság feltételeit a következőkben foglalhatjuk össze:
1) Ha
45<γ<60,
akkor a feladat mindig megoldható.
2) Ha
γ45,
akkor még szükséges és elégséges a megoldhatósághoz, hogy (α>β esetén)
α<90+γ.

A γ=60 és γ<45, α=90+γ határesetekben a golyónak a feladat értelmében követelt visszaverődéseiről nem lehet beszélni.
 

Tóth László (Miskolc, Vill. kp. t. III. o. t.)