Kezdőlap


Feladat:	758. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Endrődy Tamás
Füzet:	1956/december, 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Beírt kör, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/május: 758. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a körülírt kör középpontját $K$ -val és a beírt körét $O$ -val. Nyilvánvaló, ha megszerkesztjük a $K O = d$ távolságot, akkor a háromszög megszerkesztése már kézenfekvő.

d

távolság megszerkesztésére felhasználhatjuk Euler ismert tételét (lásd Matematikai Versenytételek I. rész, 1897/2. feladathoz fűzött 2. jegyzetet a 41. oldalon), amely szerint

\begin{matrix} d^{2} = r^{2} - 2 r ϱ = r (r - 2 ϱ) . \end{matrix}

Tehát

d

mint mértani középarányos

r

és

r - 2 ϱ

között megszerkeszthető. Ha

r > 2 ϱ

d

-re nézve mindig van egy és csakis egy megoldás. A megszerkesztett

d

-hez mindig 2 háromszög tartozik (lásd az ábrát) aszerint, amint az

O K

átmérő

A_{1}

, ill.

A_{2}

végpontját vesszük csúcspontnak.

Endrődy Tamás (Bp., III., Árpád g. I. o. t.)