Kezdőlap


Feladat:	757. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kolonits Ferenc , Ványai László
Füzet:	1956/december, 141 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/május: 757. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ismeretes, hogy a számtani közép nem lehet kisebb a mértaninál, ezért

\begin{matrix} \frac{1}{3} (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x}) \geq & (1) \\ \geq \sqrt[^{3}]{\frac{1}{x + y} \cdot \frac{1}{y + z} \cdot \frac{1}{z + x}} = \frac{1}{\sqrt[^{3}]{(x + y) (y + z) (z + x)}} . \end{matrix}

Viszont ugyanannak a tételnek felhasználásával

\begin{matrix} \sqrt[^{3}]{(x + y) (y + z) (z + x)} \leq \frac{(x + y) + (y + z) + (z + x)}{3} = \frac{2}{3} (x + y + z) . \end{matrix}

(2)

(1)-ben a jobboldal nevezőjében a (2) alatti nagyobb értéket írva, (1) jobb oldalát még inkább kisebbítjük, vagyis

\begin{matrix} \frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} \geq \frac{9}{2 (x + y + z)} . \end{matrix}

(3)

Mindkét oldalt a pozitív

(x + y + z)

-vel szorozva

\begin{matrix} 1 + \frac{z}{x + y} + 1 + \frac{x}{y + z} + 1 + \frac{y}{z + x} \geq \frac{9}{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} \geq \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}, \end{matrix}

ami bizonyítandó volt.

Kolonits Ferenc (Bp. VIII., Piarista g. I. o. t.)

II. megoldás: Jelöljük az egyenlőtlenség baloldalát

B

-vel, az

y + z

z + x

x + y

kifejezéseket

a

b

c

-vel, ekkor a második és harmadik kifejezés összegéből az elsőt levonva nyerjük, hogy

\begin{matrix} b + c - a = 2 x, azaz x = \frac{1}{2} (b + c - a) . \end{matrix}

Hasonlóan

\begin{matrix} y = \frac{1}{2} (c + a - b), z = \frac{1}{2} (a + b - c) . \end{matrix}

Ezeket

B

-be helyettesítve

\begin{matrix} B & = \frac{1}{2} (\frac{b + c - a}{a} + \frac{c + a - b}{b} + \frac{a + b - c}{c}) = \\ = \frac{1}{2} (\frac{b}{a} + \frac{c}{a} - 1 + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} - 1 + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} - 1) = \\ = \frac{1}{2} (\frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{c} - 3) \geq \\ \geq \frac{1}{2} (2 + 2 + 2 - 3) = \frac{3}{2}, \end{matrix}

mert általában, ha

u > 0

, akkor

\begin{matrix} u + \frac{1}{u} = \frac{u^{2} + 1}{u} = \frac{{(u - 1)}^{2} + 2 u}{u} = \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} + 2 \geq 2. \end{matrix}

Ványai László (Sátoraljaújhely, Kossuth g. IV. o. t.)