Kezdőlap


Feladat:	755. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bácsy E. , Borsi L. , Csapody M. , Cser A. , Cserteg I. , Csiszár Imre , Gergely E. , Horváth G. , Huszár M. , Illés Cs. , Jedlovszky P. , Jókuti F. , Katz T. , Kengyel Vilma , Király E. , Kozma T. , Krem A. , Lukács G. , Makkai M. , Németh J. , Parlagh Gy. , Ruppenthal P. , Soós T. , Stahl J. , Szabados J. , Szeidl B. , Tokai J. , Vásárhelyi B. , Veszely Gy. , Zsombok Z.
Füzet:	1956/november, 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kúpok, Térgeometriai bizonyítások, Hiperbola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/április: 755. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a két kúpfelület középpontja $M_{1}$ , és $M_{2}$ , forgástengelyük $t_{1}$ , ill. $t_{2}$ . Rajzunk síkja legyen a $[t_{1} t_{2}]$ sík, amely a két kúpfelületből 2‐2 alkotót metsz ki; ezek (a kúpok egyenlő nyílása és $t_{1} ∥ t_{2}$ miatt) az $M_{1} A M_{2} B$ paralelogammát alkotják (lásd az ábrát).

E paralelogramma átlóinak metszéspontja legyen

O

. Könnyű belátni, hogy e két kúpfelület rajzunk síkjára szimmetrikus, és ugyanakkor az

O

pontra nézve centrálisan szimmetrikus.
Az

A B

-n átmenő és rajzunk síkjára merőleges

S

sík, mindkét kúpból egy-egy hiperbolát (

k_{1}

, ill.

k_{2}

) metsz ki, amelyeknek ‐ az előbbi szimmetriaviszonyok miatt ‐

O

a közös középpontjuk, és

A B

a közös valós tengelyük.
Az

O

-ra való tükrözés az

M_{1}

kúpot átviszi az

M_{2}

kúpba, az

S

síkot önmagába, a

k_{1}

hiperbolát a

k_{2}

-be. De mivel

O

k_{1}

-nek középpontja, így az

O

-ra való centrális tükrözés

k_{1}

-et önmagába viszi át, azért

k_{1}

azonos

k_{2}

-vel.
Könnyű belátni, hogy az

S

síkon kívül a két felületnek nem lehet közös pontja a végesben.
Ha az egyik kúpfelület középpontja rajta van a másik kúpfelületen, akkor a fenti paralelogramma egyenessé fajul, a hiperbola-áthatás pedig a kétszeresen számító

M_{1} M_{2}

alkotóvá fajul (amely alkotó mentén a két kúpnak közös az érintősíkja).

Csiszár Imre (Bp., I., Petőfi g. IV. o. t.)

Megjegyzés: Két másodrendű felület áthatása mindig negyedrendű görbe; jelen esetben a végesben fekvő közös hiperbolán kívül, a párhuzamos alkotópárok metszéspontjai alkotnak még egy kúpszeletet a végtelen távoli pontok alkotta síkon.