|
Feladat: |
755. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bácsy E. , Borsi L. , Csapody M. , Cser A. , Cserteg I. , Csiszár Imre , Gergely E. , Horváth G. , Huszár M. , Illés Cs. , Jedlovszky P. , Jókuti F. , Katz T. , Kengyel Vilma , Király E. , Kozma T. , Krem A. , Lukács G. , Makkai M. , Németh J. , Parlagh Gy. , Ruppenthal P. , Soós T. , Stahl J. , Szabados J. , Szeidl B. , Tokai J. , Vásárhelyi B. , Veszely Gy. , Zsombok Z. |
Füzet: |
1956/november,
108. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kúpok, Térgeometriai bizonyítások, Hiperbola, mint kúpszelet, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1956/április: 755. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a két kúpfelület középpontja , és , forgástengelyük , ill. . Rajzunk síkja legyen a sík, amely a két kúpfelületből 2‐2 alkotót metsz ki; ezek (a kúpok egyenlő nyílása és miatt) az paralelogammát alkotják (lásd az ábrát).
E paralelogramma átlóinak metszéspontja legyen . Könnyű belátni, hogy e két kúpfelület rajzunk síkjára szimmetrikus, és ugyanakkor az pontra nézve centrálisan szimmetrikus. Az -n átmenő és rajzunk síkjára merőleges sík, mindkét kúpból egy-egy hiperbolát (, ill. ) metsz ki, amelyeknek ‐ az előbbi szimmetriaviszonyok miatt ‐ a közös középpontjuk, és a közös valós tengelyük. Az -ra való tükrözés az kúpot átviszi az kúpba, az síkot önmagába, a hiperbolát a -be. De mivel a -nek középpontja, így az -ra való centrális tükrözés -et önmagába viszi át, azért azonos -vel. Könnyű belátni, hogy az síkon kívül a két felületnek nem lehet közös pontja a végesben. Ha az egyik kúpfelület középpontja rajta van a másik kúpfelületen, akkor a fenti paralelogramma egyenessé fajul, a hiperbola-áthatás pedig a kétszeresen számító alkotóvá fajul (amely alkotó mentén a két kúpnak közös az érintősíkja).
Csiszár Imre (Bp., I., Petőfi g. IV. o. t.) | Megjegyzés: Két másodrendű felület áthatása mindig negyedrendű görbe; jelen esetben a végesben fekvő közös hiperbolán kívül, a párhuzamos alkotópárok metszéspontjai alkotnak még egy kúpszeletet a végtelen távoli pontok alkotta síkon. |
|