Kezdőlap


Feladat:	754. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Detre Mária
Füzet:	1956/november, 107. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Hossz, kerület, Térbeli ponthalmazok távolsága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/április: 754. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két kitérő egyenes távolságán értjük a két egyenes egy-egy pontja által meghatározott távolságok közül a legkisebbet. Minimális ez a távolság, ha mindkét egyenessel derékszöget zár be (mert minden más esetben a távolság rövidíthető azáltal, hogy egy hegyesszög csúcspontját derékszög csúcspontjával helyettesítünk), vagyis, ha rajta van az ún. normál-tranzverzálison: $t_{n}$ -en.
Legyen a két kitérő egyenes $a$ és $b$ . A $t_{n}$ egy egyszerű szerkesztési módja: 1) Az egyik egyenesen, pl. az $a$ -n át fektetünk egy $S$ síkot, amely $b$ -vel párhuzamos. (Ha csak a két kitérő egyenes távolságát akarjuk meghatározni, akkor elég a $b$ egy tetszőleges pontjának meghatározni $S$ -től való távolságát.) ‐ 2) A $b$ egyenesen átmenő $S$ -re merőleges $N$ sík metszi ki $a$ -ból a $t_{n}$ egy $P$ pontját. ‐ 3) A $P$ pontban $S$ -re emelt merőleges egyenes a keresett $t_{n}$ .

Jelen esetben a betűzést az ábra mutatja. Az

a

egyenes

M

pontján átmenő

B_{1} C_{1}

egyenes határozza meg

a

-val az

A D C_{1} B_{1} = S

síkot, mely párhuzamos

b

-vel. A

b

egyenes egy tetszőleges pontjából, pl.

B

-ből merőlegest bocsátunk

S

-re:

B B_{0}

. (Mivel

b

és

S

is merőleges az

A B F E

kockalapra, azért

S

-nek

A B_{1}

metszésvonala e kockalappal derékszöget zár be

B B_{0}

-val.) A

b

és

B B_{0}

által meghatározott

N

sík metszi ki

S

-ből a

B_{0} C_{0}

egyenest. Utóbbinak

a

-val való metszéspontja a

t_{n}

-nek

P

pontja.

P

-n át

B_{0} B

-vel párhuzamos egyenes metszi

b

-t

Q

-ban.
A keresett távolság

P Q = B_{0} B

\begin{matrix} A B B_{0} ▵ \sim B_{1} A E ▵, \end{matrix}

mert mindkettő derékszögű, és az

A ∢ = B ∢

, mint merőleges szárú szögek.
Tehát

\begin{matrix} \frac{B B_{0}}{A B_{0}} = \frac{A E}{B_{1} E} = 2, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} a^{2} = x^{2} + {(2 x)}^{2} = 5 x^{2}, amiből x = \frac{a}{\sqrt[]{5}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} B B_{0} = 2 x = \frac{2 a}{\sqrt[]{5}} = \frac{2 \sqrt[]{5}}{5} a . \end{matrix}

Detre Mária (Esztergom, 9. gépip. t. III. o. t.)