Kezdőlap


Feladat:	753. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berár I. , Borsi L. , Csapody M. , Csiszár I. , Detre Mária , Dobrovolszky A. , Endrődy T. , Flanek G. , Frivaldszky S. , Gergely Ervin , Hidas P. , Huszár M. , Jakubovics J. , Jedloszky P. , Jókuti F. , Kardos I. , Kozma T. , Krem A. , Makkai I. , Rázga T. , Rockenbauer A. , Ruppenthal P. , Stahl J. , Surán G. , Surányi Gy. , Zsombok Z.
Füzet:	1956/november, 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/április: 753. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nevezzük a feladat kikötésének megfelelő ötszögeket kölcsönösen beírt ötszögeknek. A feladat állításán túlmenőleg be fogjuk bizonyítani, hogy minden ötszöghöz végtelen sok kölcsönösen beírt ötszög tartozik, mert az utóbbi ötszög egyik csúcsát az adott ötszög egyik oldalegyenesén tetszőlegesen felvehetjük.
Ábránkon az adott ötszög $U$ csúcsát a $D E$ oldalon tetszőlegesen vettük fel.

A rákövetkező

V

csúcspont szerkesztése:

U

pontból kiindulva az adott ötszög kerületén haladunk pozitív (az óra járásával ellenkező) értelemben

E

-en túl a második csúcsig (ábránkon

A

), melyet összekötünk

U

-val. Az

U A

egyenes metszéspontja az

A

után következő két csúcs (ábránkon

B C

) által meghatározott oldalegyenessel szolgáltatja a

V

pontot.
Ezen eljárást folytatva:

V D

és

E A

metszéspontja

X

X B

és

C D

metszéspontja

Y

Y E

és

A B

metszéspontja

Z

.
Az így nyert

U V X Y Z

ötszögről világos, hogy eleget tesz a követelményeinknek, ha még bebizonyítjuk, hogy a

Z U

oldalegyenes átmegy a

C

ponton. Ez utóbbinak bizonyítása a Desargues-féle tétel felhasználásával történik. Ugyanis a szerkesztés szerint az

A B X

és

U C D

háromszögek a

V

pontra nézve perspektív helyzetűek, és a perspektív tengely az

E Y

egyenes. Az

A B

egyenes ezt a tengelyt

Z

-ben metszi, tehát Desargues tétele szerint az

A B

megfelelője az

U C

egyenes is átmegy a

Z

ponton.

Gergely Ervin (Bp., IV., Könyves Kálmán g. III. o. t.)