Kezdőlap


Feladat:	752. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gerentsér Imre
Füzet:	1956/november, 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/április: 752. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen az ellipszis nagytengelye $2 a$ , kistengelye $2 b$ , a fókuszok távolsága $2 c$ , tetszőleges érintője $t$ , és ezen az érintési pont $P$ . Ismeretes, hogy a fókuszokból az érintőkre bocsátott merőlegesek talppontjai $T_{1}$ és $T_{2}$ a főkörön vannak (lásd az ábrát).

Legyen

F_{1} T_{1} = d_{1}

F_{2} T_{2} = d_{2}

. Bizonyítandó, hogy

\begin{matrix} d_{1} d_{2} = b^{2} = a^{2} - c^{2} . \end{matrix}

Jelöljük

F_{1}

és

F_{2}

tükörképeit

t

-re nézve

G_{1}

, illetőleg

G_{2}

-vel, akkor az

F_{1} G_{1} G_{2} F_{2}

egyenlő szárú trapézban a párhuzamos oldalak

2 d_{1}

és

2 d_{2}

, a szárak

2 c

, a

P

pontban egymást metsző átlók

F_{1} G_{2} = F_{2} G_{1} = 2 a

, mert

\begin{matrix} F_{1} G_{2} = F_{1} P + P G_{2} = F_{1} P + P F_{2} . \end{matrix}

Ptolemaios tétele szerint húrnégyszögben a szemközt fekvő oldalak szorzatainak összege egyenlő az átlók szorzatával, tehát jelen esetben

\begin{matrix} 4 d_{1} d_{2} + 4 c^{2} = 4 a^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} d_{1} d_{2} = a^{2} - c^{2} = b^{2} . \end{matrix}

A feladatkitűző megoldása

II. megoldás: Ha

T_{2}

-nek centrális tükörképét

O

-ra nézve

T'_{2}

-vel jelöljük, akkor

O F_{1} T'_{2} ▵ ≅ O F_{2} T_{2} ▵

, miatt

T'_{2}

rajta van a

T_{1} F_{1}

egyenesen, és

F_{1} T'_{2} = d_{2}

(lásd az ábrát).
A körre vonatkozó arányos távolságok ismert tétele szerint az

F_{1}

ponton átmenő két húron levő szeletekre

\begin{matrix} d_{1} d_{2} = (a - c) (a + c) = a^{2} - c^{2} = b^{2} . \end{matrix}

Gerentsér Imre (Pécs, Bányaip. t. IV. o. t.)