Kezdőlap


Feladat:	751. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csiszár Imre , Dormány Mihály
Füzet:	1956/november, 103 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellipszis egyenlete, Kúpszeletek érintői, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/április: 751. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Először határozzuk meg az egyenes és az ellipszis metszéspontjait, majd írjuk fel annak feltételét, hogy a két metszéspont egybeesik. Ez egyben az egyenes és az ellipszis érintkezésének feltétele.
Az egyenes és ellipszis metszéspontjának koordinátái az (1), (2) egyenletrendszer megoldásai. Helyettesítsük az (1)-ből kifejezett $y$ -t a (2)-be, ekkor a

\begin{matrix} b^{2} x^{2} + a^{2} (p^{2} x^{2} + 2 p q x + q^{2}) = a^{2} b^{2} \end{matrix}

egyenletre jutunk, vagy

x

hatványai szerint rendezve

\begin{matrix} (a^{2} p^{2} + b^{2}) x^{2} + 2 a^{2} p q x + a^{2} (q^{2} - b^{2}) = 0. \end{matrix}

(3)

A két metszéspont egybeesésének szükséges feltétele, hogy (3) diszkriminánsa

\begin{matrix} D = 4 a^{4} p^{2} q^{2} - 4 (a^{2} p^{2} + b^{2}) a^{2} (q^{2} - b^{2}) = 0 \end{matrix}

(4)

legyen. Ez elégséges feltétel is, mert egybeeső

x

értékekhez egybeeső

y

értékek tartoznak az (1) egyenlet szerint.
Egyszerűsítés után (4) a következő alakra hozható

\begin{matrix} D = a^{2} p^{2} + b^{2} - q^{2} = 0. \end{matrix}

(

4'

)

Ezzel feleltünk a feladat első kérdésére.
Az érintési pont abszcisszáját a (3) egyenletből nyerjük, figyelembe véve, hogy

D = 0

, és így (

4'

)-ből

a^{2} p^{2} + b^{2} = q^{2}

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{- 2 a^{2} p q}{2 (a^{2} p^{2} + b^{2})} = - \frac{a^{2} p q}{q^{2}} = - \frac{a^{2} p}{q} . \end{matrix}

Továbbá (1)-ből az érintési pont ordinátája (

4'

) figyelembevételével

\begin{matrix} y_{1,2} = p x_{1,2} + q = \frac{- a^{2} p^{2} + q^{2}}{q} = \frac{b^{2}}{q} . \end{matrix}

Csiszár Imre (Bp., I., Petőfi g. IV. o. t.)

II. megoldás: Felírjuk az ellipszis tetszőleges

P (x_{1}, y_{1})

pontjában az érintő egyenletét, majd megvizsgáljuk annak feltételét, hogy (1) az érintővel egybeeső egyenesnek legyen az egyenlete.
A

P (x_{1}, y_{1})

pontbeli érintő egyenlete

\begin{matrix} b^{2} x_{1} x + a^{2} y_{1} y = a^{2} b^{2}, ahonnan y = - \frac{b^{2} x_{1}}{a^{2} y_{1}} x + \frac{b^{2}}{y_{1}} . \end{matrix}

Ezt (1)-gyel tagonként összehasonlítva, nyerjük

\begin{matrix} p = - \frac{b^{2} x_{1}}{a^{2} y_{1}}, q = \frac{b^{2}}{y_{1}} . \end{matrix}

Innen az érintési pont koordinátái:

\begin{matrix} x_{1} = - \frac{a^{2} p}{q} y_{1} = \frac{b^{2}}{q} . \end{matrix}

Ezzel feleltünk a feladat második kérdésére.
Az

(x_{1}, y_{1})

pont az ellipszis tetszőleges pontja. E szerint koordinátái kielégítik az ellipszis egyenletét:

\begin{matrix} b^{2} \frac{a^{4} p^{2}}{q^{2}} + a^{2} \frac{b^{4}}{q^{2}} = a^{2} b^{2}, \end{matrix}

ahonnan egyszerűsítés és rendezés után ugyanarra az

\begin{matrix} a^{2} p^{2} + b^{2} - q^{2} = 0, \end{matrix}

összefüggésre jutunk, mint az I. megoldásban.

Dormány Mihály (Kecskemét, Katona J. g. III. o. t.)