Kezdőlap


Feladat:	749. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Jedlovszky Pál , Molnár Erika
Füzet:	1956/november, 102 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/április: 749. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mivel $| sin x | \leq 1$ és $| cos x | \leq 1$ , ahol az egyenlőség jele nem ugyanazon $x$ értéke mellett érvényes, azért

\begin{matrix} | sin x + cos x | < 2. & (1) \\ tg x + ctg x = \frac{sin x}{cos x} + \frac{cos x}{sin x} = \frac{sin^{2} x + cos^{2} x}{sin x cos x} = \frac{2}{2 sin x cos x} = \frac{2}{sin 2 x} \end{matrix}

és mivel

| sin 2 x | \leq 1

, azért

\begin{matrix} | tg x + ctg x | \geq 2. \end{matrix}

(2)

(1) és (2) egybevetéséből következik, hogy

sin x + cos x = tg x + ctg x

nem állhat fenn semmilyen

x

-re.

Molnár Erika (Miskolc, Vámos I. lg. III. o. t.)

II. megoldás: A szögfüggvények egység-sugarú körben való ábrázolásából nyilvánvaló, hogy

\begin{matrix} | sin x | \leq | tg x | & (3) \\ | cos x | \leq | ctg x | . & (4) \end{matrix}

(3) és (4)-ben az egyenlőségek nem ugyanazon

x

értékre állanak fenn, azért (3) és (4) összegében az

=

jel elhagyható:

\begin{matrix} | sin x | + | cos x | < | tg x | + | ctg x | . \end{matrix}

(5)

Mivel

tg x

és

ctg x

előjele mindig azonos, azért (5) jobboldala helyébe írható a vele egyenlő

| tg x + ctg x |

, a baloldal helyébe a nála nem nagyobb

| sin x + cos x |

-t téve, az egyenlőtlenség még inkább igaz, vagyis

\begin{matrix} | sin x + cos x | < | tg x + ctg x | . \end{matrix}

Tehát az eredeti egyenlet nem megoldható.

Jedlovszky Pál (Bp., XIV., Petrik vegyip. t. IV. o. t.)