Kezdőlap


Feladat:	748. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pogány Eörs , Ullrich Zoltán
Füzet:	1956/november, 100 - 102. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok hasonlósága, Magasságpont, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/március: 748. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Berkes Jenő ,,a talpponti háromszögről'' c. cikkében (lásd az 1956. márciusi számban a 69. oldalt) bebizonyította, hogy hegyesszögű háromszög esetén

\begin{matrix} μ_{a} : μ_{b} : μ_{c} = B_{1} C_{1} : C_{1} A_{1} : A_{1} B_{1}, & (1) \\ μ_{a} + μ_{b} + μ_{c} = 2, & (2) \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} μ_{a} = \frac{A M}{A A_{1}} = \frac{p_{1}}{p_{1} + p_{2}}, vagyis (p_{1} + p_{2}) : p_{1} = 1 : μ_{a}, & (3) \\ μ_{b} = \frac{B M}{B B_{1}} = \frac{q_{1}}{q_{1} + q_{2}}, vagyis (q_{1} + q_{2}) : q_{1} = 1 : μ_{b}, & (4) \\ μ_{c} = \frac{C M}{C C_{1}} . & (5) \end{matrix}

Válasszunk egy tetszőleges egységet, és szerkesszük meg (3) alapján

(p_{1} + p_{2})

p_{1}

és az egységhez a negyedik arányost,

μ_{a}

-t (1. ábra).

1. ábra

Hasonlóképpen nyerjük (4) felhasználásával a

μ_{b}

-t.

(μ_{a} + μ_{b})

-t kivonva két egységből nyerjük (2) alapján

μ_{c}

-t (1. ábra).

μ_{a}

μ_{b}

és

μ_{c}

-vel, mint oldalakkal háromszöget szerkesztünk (2. ábra), e háromszög (1) alapján a keresett háromszöghöz hasonló háromszögnek talpponti háromszöge.

2. ábra

E talpponti háromszög külső szögfelezői a keresett háromszöghöz hasonló

A' B' C'

hegyesszögű háromszöget alkotnak. Végül a háromszöget az adott

c = A B

-nek megfelelően a kívánt

A B C ▵

nagyságára változtatjuk.
A megoldhatóság feltétele, hogy

μ_{a}

μ_{b}

és

μ_{c}

szakaszokkal, mint oldalakkal háromszög legyen szerkeszthető.

Pogány Eörs (Bp., V., Eötvös J. g. III. o. t.)

II. megoldás: Az

A_{1}

pont az

A B

fölé rajzolt Thales-körön van.

A A_{1}

e Thales-kör húrja, melyet az

M

pont

\frac{A M}{M A_{1}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}

arányban oszt. Ha elképzeljük a Thales-körnek

A

pontból kiinduló összes húrját (ezek közé tartozik az

A B

átmérő is), akkor a felírt arányt e húrokon kielégítő

M

pontok mértani helye szintén kör, amely az előbbi körnek az

A

pontra nézve, perspektív helyzetű,

\frac{p_{1}}{p_{1} + p_{2}}

arányban való kicsinyítése. E kör

A B

-re eső átmérőjének

P

végpontja az

A B

szakaszt

\frac{p_{1}}{p_{2}}

arányban osztja: ezt tudva a

P

pont, és vele együtt az

A P

, mint átmérő, fölé rajzolt kör megszerkeszthető (3. ábra).

3. ábra

Hasonlóképpen szerkesztjük meg a

B A

átmérőn a

Q

pontot, úgy, hogy

B Q : Q A = q_{1} : q_{2}

. A

B Q

, mint átmérő fölé rajzolt kör metszi ki az előbbi körből az

M

pontot. Az

A M

és

B M

egyenesek metszik ki az

A B

fölé rajzolt Thales-körből az

A_{1}

és

B_{1}

pontokat.

A B_{1}

és

B A_{1}

metszéspontja

C

.
A megoldhatóság feltétele, hogy az

M

mértani helyeként nyert két kör két különböző pontban messe egymást. (E két metszéspont közül csak az egyiket kell figyelembe venni, mert a másik az első megoldással egybevágó háromszögre vezet.)

Ullrich Zoltán (Bp., VI., Közlekedési ép. ip. t. IV. o. t.)