Kezdőlap


Feladat:	747. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lukács Gábor , Pogány Eörs
Füzet:	1956/november, 99 - 100. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Feuerbach-kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/március: 747. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az $A B C ▵$ és $A_{1} B_{1} C_{1} ▵$ megfelelő pontjainak összekötései átmennek az $M$ magasság-ponton. Tehát e két háromszög perspektív helyzetű, és így Desargues-tétele (lásd az 1956. januári számban a 3. oldal) értelmében a megfelelő egyenesek metszéspontjai egy egyenesen vannak.

Lukács Gábor (Bp., V., Cukor u. g. IV. o. t.)

II. megoldás: A betűzést az ábra mutatja. Legyen

k

A B C ▵

köré írt kör,

k_{1}

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

köré írt (Feuerbach-féle) kör és

k_{a}

B C

, mint átmérő fölé rajzolt, a

C_{1}

és

B_{1}

ponton átmenő Thales-kör.

k

és

k_{a}

köröknek hatványvonala a

B C

egyenes, hiszen

B C

e két kör közös húrja. A

k_{1}

és

k_{a}

hatványvonala

B_{1} C_{1}

, mert

B_{1} C_{1}

e két kör közös húrja. Tehát a

B C

és

B_{1} C_{1}

egyenesek metszéspontja

A_{0}

a három kör közös hatványpontja, és mint ilyen, rajta van a

k

és

k_{1}

köröknek hatványvonalán. Ugyanaz, ugyanígy megmutatható a

B_{0}

-ra is

C_{0}

-ra. Ezzel nemcsak azt mutattuk meg, hogy a szóban forgó metszéspontok egy egyenesen vannak, hanem azt is, hogy ez az egyenes a háromszög köré írt körének és a Feuerbach-féle körnek hatványvonala.

Pogány Eörs (Bp., V., Eötvös J. g. III. o. t.)

Megjegyzés: Ha az

A B C ▵

egyenlő szárú, akkor csak két metszéspont van a végesben, és az ezek által meghatározott egyenes párhuzamos az alappal és annak megfelelőjével. (Úgy is szokás mondani, hogy a három egyenesnek közös a végtelenben fekvő pontja.) Ha az

A B C ▵

szabályos, akkor mind a három megfelelő egyenespár párhuzamos. (Mondhatjuk úgy is, a három metszéspont rajta van a síknak végtelenben fekvő egyenesén.)