Kezdőlap


Feladat:	746. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kozma Tibor
Füzet:	1956/november, 98 - 99. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körhengerek, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/március: 746. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ábránk (amelyről a betűzés leolvasható) mutatja a függőleges helyzetből $α$ szöggel elforgatott forgáshenger alakú edénybe férő víznek, a teljesen vízben levő alkotóhoz tartozó tengelymetszetét, amikor $α$ még nem olyan nagy, hogy a víz szintje messe az alapkört.

Jelölje

O_{0}

a víz szintjének metszéspontját a forgáshenger tengelyével, akkor az

O_{0}

-n átmenő, a henger alapkörével párhuzamos sík feletti víztest az

O_{0}

-ra nézve centrálisan szimmetrikus a metsző sík alatti, a metsző sík-, a hengerpalást- és a vízszint által határolt vízmentes testtel. Tehát e két testrész köbtartalma egyenlő, s így a dűlt hengerbe férő víz köbtartalma egyenlő annak a hengernek köbtartalmával, amelynek alapja az adott henger alapkörlapja és magassága:

O O_{0} = m_{0}

.
Legyen a keresett vízmennyiség

k

liter, akkor

\begin{matrix} k : 1 = m_{0} : m, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} k = \frac{m_{0}}{m} . \\ m_{0} = m - x = m - r tg α, \end{matrix}

ahol

x = r tg α < \frac{m}{2}

.
Mivel (cm-ekben számolva)

\begin{matrix} r^{2} π m = 1000, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} r = \sqrt[]{\frac{1000}{m π}}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} m_{0} = m - tg α \sqrt[]{\frac{1000}{m π}} = m - \sqrt[]{\frac{1000 {tg}^{2} α}{m π}} = m - x . \end{matrix}

Jelen esetben

α = 37^{\circ} 42'

és

m = 15, 3

cm. Tehát kell, hogy

x < \frac{m}{2} = 7, 65

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 lg tg 37^{\circ} 42' = & 19, 7762 - 20 \\ + lg 1000 = & 3, 0000 \\ 2, 7762 \\ - {\begin{matrix} lg 15, 3 & = \\ lg π & = \end{matrix} & \begin{matrix} 1, 1847 \\ 0, 4971 \end{matrix} \\ 2 lg x = & 1, 0944 \\ lg x = & 0, 5472 \\ x = & 3, 525 < 7, 65. \end{matrix} \end{matrix}

Tehát

m_{0} = 15, 3 - 3, 525 = 11, 775

,
és így

\begin{matrix} k = \frac{m_{0}}{m} = \frac{11, 725}{15, 3} = 0, 7697 l = 769, 7 {cm}^{3} . \end{matrix}

Kozma Tibor (Győr, Bencés g. III. o. t.)