Kezdőlap


Feladat:	745. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Unatényi Tibor
Füzet:	1956/november, 97 - 98. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/március: 745. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Képzeljük a feladatot megoldottnak. A betűzést az ábra mutatja.

A B

nagytengely mint átmérő, fölé rajzolt főkörön vannak rajta a fókuszokból az

e_{1}

és

e_{2}

érintőkre bocsátott merőlegesek

T_{1}

T'_{1}

, ill.

T_{2}

T'_{2}

talppontjai.
A centrális szimmetria miatt az

F_{1} E_{2} F_{2} E_{1}

négyszög paralelogramma. Az

F_{2}

-nek

e_{2}

-re vonatkozó tükörképét

F'_{2}

-vel jelölve

F'_{2} T_{2} ∥ F_{1} T_{1}

, továbbá a centrális szimmetria és a tükrözés miatt

F_{1} T_{1} = F_{2} T_{2} = F'_{2} T_{2}

, tehát

F_{1} F'_{2} # T_{1} T_{2}

, vagyis a

T_{1} T_{2}

, és hasonlóan látható, hogy

T'_{1} T'_{2}

is, az

F_{1} E_{2} F_{2} E_{1}

, paralelogramma középvonalai.
Mivel a feladat szerint az

F_{1} E_{2} F_{2} ∢ = 180^{\circ} - 4 α

, és ‐ mint ismeretes ‐ az érintő felezi a rádiuszvektorok szögét, azért az

F'_{2} E_{2} T_{2} ∢ = F_{1} E_{2} T'_{2} ∢ = T_{2} E_{2} F_{2} ∢ = 2 α

, és mint megfelelő szög a

T_{2} O X ∢

ugyancsak

2 α

. De mint megfelelő szög

\begin{matrix} T_{2} O B ∢ = E_{2} F_{1} B ∢ = α, \end{matrix}

és így a

\begin{matrix} B O X ∢ = 2 α - α = α, \end{matrix}

vagyis

O B

felezi

T_{2} O X

szöget.
Eszerint a szerkesztés menete: Az adott

e_{1}

és

e_{2}

párhuzamos érintők középvonalának egy

O

pontja körül rajzolt

a

sugarú kör metszi ki az

e_{1}

és

e_{2}

egyenesekből a

T_{1}

T'_{1}

, ill.

T_{2}

T'_{2}

talppontokat, és a középvonalból az

X

pontot, melyre nézve

T_{2} O X

hegyesszög. Ez utóbbi hegyesszögnek a felező egyenese a nagytengely hordozója. Az

A

B

F_{1}

F_{2}

E_{1}

E_{2}

C

D

pontok megszerkesztése már kézenfekvő.
A megoldhatóság feltétele, hogy

2 a > d

, ahol

d

jelenti

e_{1}

és

e_{2}

-nek egymástól való távolságát.
Ha

T_{1} T_{2}

helyett

T'_{1} T'_{2}

-t vesszük figyelembe, akkor a választott

O

ponthoz tartozó második ellipszishez jutunk, amely az elsőnek tükörképe az

O

-n átmenő és az érintőkre merőleges egyenesre nézve.

Unatényi Tibor (Balassagyarmat, Balassa B. g. III. o. t.)