Feladat: 743. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Fillinger László ,  Krix Eleonóra ,  Pődör Bálint 
Füzet: 1956/november, 94 - 96. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Parabola egyenlete, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/március: 743. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha PQ minimális, akkor Q környezetében levő minden Q' pontra nézve PQ'>PQ, vagyis a P középpontú és PQ sugarú kör Q-ban érinti a parabolát, és így a P pont rajta van a Q ponthoz tartozó normálison.
A P középpontú körök a parabolát általában 4 pontban metszik. Keressük e körök közül azt, amely a parabolát két pontban érinti. Mivel az x tengely szimmetria tengely, azért a két érintkezési pont abszcisszája közös.
A parabola egyenlete

y2=2px.(1)
A P(3p,0) középpontú és r sugarú kör egyenlete
(x-3p)2+y2=r2.(2)
A metszéspontokra nézve fennáll a (2) és (1) egyenlet, amiből
(x-3p)2=r2-2px,
adódik, vagyis rendezve
x2-4px+9p2-r2=0.(3)

A metszéspontok abszcisszái, akkor egyenlők, ha a (3) másodfokú egyenlet diszkriminánsa D=0, vagyis
D=16p2-4(9p2-r2)=0,
ahonnan
r2=5p2.

Mivel ez esetben az elsőfokú tag együtthatója a gyök (-2)-szerese, azért
x1,2=2p,és így (1)-bőly=±2p.

A feladat követelményeinek tehát két pont felel meg: Q1(2p,2p) és Q2(2p,-2p).
 

Krix Eleonóra (Baja, III. Béla g. III. o. t.)
 

II. megoldás: A parabola (x1,y1) pontjában az érintő egyenlete
y1y=p(x+x1),vagyisy=py1(x+x1).

Az (x1,y1) ponton átmenő, és az érintőre merőleges, normális egyenlete tehát
y-y1=-y1p(x-x1).

A keresett Q(x1,y1) ponthoz tartozó normális ‐ mint az I. megoldásban láttuk ‐ átmegy a P(3p,0) ponton, és így
0-y1=-y1p(3p-x1),vagyis rendezvey1(2p-x1)=0.

Ez az egyenlet vagy úgy állhat fenn, hogy y1=0, vagy pedig úgy, hogy 2p-x1=0. Az y1=0 ordinátájú parabola pont a parabola csúcspontja, mely P-től nem minimális, hanem a közeli pontokhoz képest maximális távolságban fekszik (a görbének a csúcspont környezetében fekvő pontjai közelebb vannak P-hez, mint a csúcspont). A 2p-x1=0 feltétel az x1=2p abscisszájú parabola pontra áll fenn, ami megegyezik az I. megoldásban nyert eredménnyel.
 

Fillinger László (Bp., I., Toldy F. g. III. o. t.)
 

III. megoldás: Legyen Q(x,y) a parabola tetszőleges pontja. Ennek távolsága P-től
PQ=(3p-x)2+y2=(3p-x)2+2px,
ahol a négyzetgyökjel alatt y2 helyébe 2px-et helyettesíthettünk, minthogy a Q pont rajta van a parabolán, és így koordinátái kielégítik a parabola egyenletét. A gyökjel alatti kifejezést átalakítva
PQ=(x-2p)2+5p2.
A jobboldalon a gyökjel alatt mind a két tag négyzetszám, tehát pozitív és 5p2 konstans. Így a kifejezés értéke akkor minimális, ha (x-2p)2 a lehető legkisebb. (x-2p)2 lehető legkisebb értéke 0, amit a kifejezés az x=2p helyen fel is vesz. Ez az eredmény egyezik az előzőkkel. PQ minimális értéke p5.
 

Pödör Bálint (Bp., II., Rákóczi g. II. o. t.)