A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Ha minimális, akkor környezetében levő minden pontra nézve , vagyis a középpontú és sugarú kör -ban érinti a parabolát, és így a pont rajta van a ponthoz tartozó normálison. A középpontú körök a parabolát általában 4 pontban metszik. Keressük e körök közül azt, amely a parabolát két pontban érinti. Mivel az tengely szimmetria tengely, azért a két érintkezési pont abszcisszája közös. A parabola egyenlete A középpontú és sugarú kör egyenlete A metszéspontokra nézve fennáll a (2) és (1) egyenlet, amiből adódik, vagyis rendezve A metszéspontok abszcisszái, akkor egyenlők, ha a (3) másodfokú egyenlet diszkriminánsa , vagyis ahonnan Mivel ez esetben az elsőfokú tag együtthatója a gyök -szerese, azért | |
A feladat követelményeinek tehát két pont felel meg: és .
Krix Eleonóra (Baja, III. Béla g. III. o. t.) | II. megoldás: A parabola pontjában az érintő egyenlete | |
Az ponton átmenő, és az érintőre merőleges, normális egyenlete tehát A keresett ponthoz tartozó normális ‐ mint az I. megoldásban láttuk ‐ átmegy a ponton, és így | |
Ez az egyenlet vagy úgy állhat fenn, hogy , vagy pedig úgy, hogy . Az ordinátájú parabola pont a parabola csúcspontja, mely -től nem minimális, hanem a közeli pontokhoz képest maximális távolságban fekszik (a görbének a csúcspont környezetében fekvő pontjai közelebb vannak -hez, mint a csúcspont). A feltétel az abscisszájú parabola pontra áll fenn, ami megegyezik az I. megoldásban nyert eredménnyel.
Fillinger László (Bp., I., Toldy F. g. III. o. t.) | III. megoldás: Legyen a parabola tetszőleges pontja. Ennek távolsága -től | | ahol a négyzetgyökjel alatt helyébe -et helyettesíthettünk, minthogy a pont rajta van a parabolán, és így koordinátái kielégítik a parabola egyenletét. A gyökjel alatti kifejezést átalakítva A jobboldalon a gyökjel alatt mind a két tag négyzetszám, tehát pozitív és konstans. Így a kifejezés értéke akkor minimális, ha a lehető legkisebb. lehető legkisebb értéke , amit a kifejezés az helyen fel is vesz. Ez az eredmény egyezik az előzőkkel. minimális értéke .
Pödör Bálint (Bp., II., Rákóczi g. II. o. t.) |
|