Kezdőlap


Feladat:	742. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lukács Gábor
Füzet:	1956/november, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/március: 742. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha Juhászné lánya $x$ métert, Fehérné lánya $y$ métert vásárolt, akkor a feladat szerint J.-né $2 x$ méterért fizetett $4 x^{2}$ forintot, és F.-né $2 y$ méterért $4 y^{2}$ forintot. Tehát

\begin{matrix} 4 x^{2} - 4 y^{2} = 76, vagyis (x + y) (x - y) = 19. \end{matrix}

Itt

x

és

y

egész szám, tehát szükségképpen

\begin{matrix} x + y = 19, és x - y = 1, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = 10, y = 9. \end{matrix}

Feltéve, hogy Kovácsné

2 u

métert, Hilda pedig

z

métert vásárolt, akkor a feladat szerint

\begin{matrix} 4 u^{2} - z^{2} = 48. \end{matrix}

Mivel

u

és

z

egész számok, azért

z

csak páros szám lehet. Legyen

z = 2 v

, akkor

\begin{matrix} 4 u^{2} - 4 v^{2} = 48, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (u - v) (u + v) = 12 = 1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4. \end{matrix}

Mivel az

u - v = 1

vagy

3

feltevés nem vezet egész megoldáshoz, azért csak

\begin{matrix} u - v = 2, és u + v = 6 \end{matrix}

lehetséges, amiből

\begin{matrix} u = 4, v = 2. \end{matrix}

Tehát Hilda

z = 2 v = 4

métert, és így Gizi

4 + 2 = 6

métert vásárolt. Mivel Nóra szükségképpen páratlan számú (páros számnál hárommal kevesebb) métert vásárolt, azért a Juhászné lánya által vásárolt 10 méter csak Máriáé lehetett.
Tehát Mária anyja Juhászné.
Ellenőrzés:

\begin{matrix} Juhász Mária & (10 m, & 100 Ft) & Juhászné & (20 m, & 400 Ft) \\ Fehér Nóra & (9 m, & 81 Ft) & Fehérné & (18 m, & 324 Ft) \\ Barna Gizi & (6 m, & 36 Ft) & Barnáné & (12 m, & 144 Ft) \\ Kovács Hilda & (4 m, & 16 Ft) & Kovácsné & (8 m, & 64 Ft) \end{matrix}

Lukács Gábor (Bp., V., Cukor u. g. IV. o. t.)