Kezdőlap


Feladat:	741. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/november, 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/március: 741. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyítandó egyenlőtlenség

\begin{matrix} b_{1} - a_{1} \geq a_{2} - b_{2} \end{matrix}

alakban írható. A feltételekből következik, hogy

a_{1}

-gyel együtt

b_{1}

is pozitív, s így az utolsó feltételből

\begin{matrix} b_{2} \geq \frac{a_{1} a_{2}}{b_{1}} . \end{matrix}

Mivel a kivonandó csökkentésével a különbség növekszik, azért

\begin{matrix} a_{2} - b_{2} \leq a_{2} - \frac{a_{1} a_{2}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{1}} (b_{1} - a_{1}) . \end{matrix}

Itt a jobboldalon álló első tört számlálója és nevezője pozitív és a feltételek szerint

\begin{matrix} b_{1} \geq a_{1} > a_{2}, tehát \frac{a_{2}}{b_{1}} < 1, \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} b_{1} - a_{1} > 0. \end{matrix}

Az utolsó két egyenlőtlenséget tekintetbe véve

\begin{matrix} a_{2} - b_{2} \leq \frac{a_{2}}{b_{1}} (b_{1} - a_{1}) \leq b_{1} - a_{1} . \end{matrix}

Ezt akartuk bizonyítani. Egyenlőség csak akkor állhat, ha az első helyen egyenlőség áll és a középső kifejezésben tényezőként szereplő különbség értéke

0

. Ez azt jelenti, hogy

a_{1} = b_{1}

a_{2} = b_{2}