Feladat: 740. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Borsi L. ,  Frivaldszky S. ,  Hidas P. ,  Jakubovics J. ,  Makkai M. ,  Razga T. ,  Rockenbauer A. ,  Szabados J. ,  Szeidl B. ,  Vámos A. ,  Zentai Á. ,  Zsombok Zoltán 
Füzet: 1956/november, 92. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Rácsgeometria, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/február: 740. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszuk a négyzetrács egy elemi négyzetének oldalát egységnek. Ha egy tetszőleges, önmagát nem metsző rácssokszög egy pontjából kiindulva végighaladunk a sokszög kerületén, akkor annyi rácsponton haladunk át, ahány egységnyi utat tettünk meg. A megtett egységek száma mindig páros, mert ahány egységet haladunk ,,fölfelé'', ugyanannyit kell megtennünk ,,lefelé'', és ahányat ,,jobbra'', ugyanannyit teszünk ,,balra'' is amíg a kiindulási ponthoz visszaérkezünk. Eszerint a rácssokszög kerületén fekvő rácspontok száma mindig páros, és ez a szám a rácssokszög kerületének mértékszáma.

 

 
1. ábra         2. ábra
 

 

Az m×n-es rácstéglalap összes rácspontjainak száma (a kerületén fekvő rácspontokhoz a belső rácspontokat is számítva): (m+1)(n+1), tehát a benne kijelölt rácssokszög kerülete ‐ a fentiek szerint ‐ legfeljebb (m+1)(n+1) lehet. Két esetet kell megkülönböztetni: a) m és n közül legalább az egyik páratlan, b) mindkettő páros.
Az a) esetben (m+1)(n+1) páros, és ‐ mint az 1. ábra mutatja ‐ a téglalap páratlan egységnyi oldalának ,,fésű''-szerű kiképzésével állíthatunk elő olyan rácssokszöget, amely minden rácsponton áthalad, tehát kerülete (m+1)(n+1).
A b) esetben (m+1)(n+1) páratlan, tehát a maximális kerületű rácssokszög kerülete legfeljebb (m+1)(n+1)-1 lehet. Megmutatjuk, hogy ez esetben tényleg létezik egy olyan rácssokszög, amely 1 rácspont kivételével minden rácsponton áthalad. Ugyanis hagyjunk el a rácstéglalapból pl. egy oszlopot, és a megmaradt téglalapba rajzoljunk a) szerint rácssokszöget, azután az elhagyott oszlopot a 2. ábra szerinti fogazással fűzzük hozzá.
A két esetet egybefoglalva kimondhatjuk, hogy az m×n-es rács-téglalapba írható maximális kerületű rácssokszög kerülete
k=(m+1)(n+1)+(-1)(m+1)(n+1)-12.

Zsombok Zoltán (Budapest, IV., Könyves Kálmán g. IV. o. t.)