Kezdőlap


Feladat:	737. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benkő Bálint , Harza Tibor
Füzet:	1956/november, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Körülírt kör, Beírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/február: 737. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás:

\begin{matrix} sin α = \frac{tg α}{\sqrt[]{1 + {tg}^{2} α}} = \frac{\frac{1}{3}}{\sqrt[]{1 + \frac{1}{9}}} = \frac{1}{\sqrt[]{10}} . \end{matrix}

Ezt az értéket a

\begin{matrix} sin α sin γ = \frac{1}{\sqrt[]{10}} \end{matrix}

egyenletbe helyettesítve, nyerjük, hogy

\begin{matrix} sin γ = 1 vagyis γ = 90^{\circ} . \end{matrix}

Tehát a háromszög derékszögű. Jelöljük az átfogót

c

-vel, a két befogót

a

és

b

-vel, akkor

2 r = c

tg α = \frac{a}{b} = \frac{1}{3}

miatt

b = 3 a

, és így Pythagoras tétele alapján

\begin{matrix} c^{2} = 4 r^{2} = a^{2} + b^{2} = a^{2} + 9 a^{2} = 10 a^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a = r \sqrt[]{\frac{4}{10}} = r \frac{\sqrt[]{10}}{5}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} b = 3 a = r \frac{3 \sqrt[]{10}}{5} . \end{matrix}

Másrészt ismeretes, hogy

\begin{matrix} ϱ = \frac{t}{s} = \frac{2 t}{2 s} = \frac{a b}{a + b + c} = \frac{r \frac{\sqrt[]{10}}{5} \cdot r \frac{3 \sqrt[]{10}}{5}}{\frac{r \sqrt[]{10}}{5} + \frac{3 r \sqrt[]{10}}{5} + 2 r} = \frac{\frac{30}{25}}{\frac{4 \sqrt[]{10}}{5} + 2} r = \\ = \frac{30}{20 \sqrt[]{10} + 50} r = \frac{3}{2 \sqrt[]{10} + 5} r . \end{matrix}

A nevezőt gyöktelenítve

\begin{matrix} ϱ = \frac{2 \sqrt[]{10} - 5}{5} r . \end{matrix}

Benkő Bálint (Sárospatak, Rákóczi g. IV. o. t.)

II. megoldás: Az oldalak kiszámítása után egyszerűbben érhetünk célhoz, ha felhasználjuk a derékszögű háromszögben jól ismert

\begin{matrix} a + b = c + 2 ϱ \end{matrix}

összefüggést.
Ebből ugyanis

\begin{matrix} ϱ = \frac{1}{2} (a + b - c) = \frac{1}{2} (r \frac{\sqrt[]{10}}{5} + r \frac{3 \sqrt[]{10}}{5} - 2 r) = \frac{r}{2} \cdot \frac{4 \sqrt[]{10} - 10}{5} = \frac{2 \sqrt[]{10} - 5}{5} r . \end{matrix}

Harza Tibor (Székesfehérvár, József A. g. IV. o. t.)