Kezdőlap


Feladat:	736. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám Antal
Füzet:	1956/november, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/február: 736. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldal a $sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}$ összefüggés felhasználásával így írható:

\begin{matrix} (sin 3 x + sin x) + sin 2 x = 2 sin 2 x cos x + sin 2 x = sin 2 x (2 cos x + 1) . \end{matrix}

A jobb oldal a

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

és

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α

összefüggések felhasználásával így alakítható át

(1 + cos 2 x) + cos x = 2 cos^{2} x + cos x = cos x (2 cos x + 1)

. Egyenletünket

0

-ra redukálva

\begin{matrix} sin 2 x (2 cos x + 1) - cos x (2 cos x + 1) = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (2 cos x + 1) (sin 2 x - cos x) = 0, \end{matrix}

azaz,

sin 2 x

helyébe

2 sin x cos x

-et írva

\begin{matrix} (2 cos x + 1) cos x (2 sin x - 1) = 0. \end{matrix}

Tehát vagy

\begin{matrix} cos x = 0, vagy & (1) \\ 2 cos x + 1 = 0, vagy & (2) \\ 2 sin x - 1 = 0. & (3) \end{matrix}

(1)-ből

\begin{matrix} x_{1,2} = 90^{\circ} \pm k \cdot 180^{\circ}, \end{matrix}

(2)-ből

\begin{matrix} cos x = - \frac{1}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x_{3} = 120^{\circ} \pm k \cdot 360^{\circ}, x_{4} = 240^{\circ} \pm k \cdot 360^{\circ}, \end{matrix}

(3)-ból

\begin{matrix} sin x = \frac{1}{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x_{5} = 30^{\circ} \pm k \cdot 360^{\circ}, x_{6} = 150^{\circ} \pm k \cdot 360^{\circ}, \end{matrix}

ahol

k = 0, 1, 2, ...

.
Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy mind a hat főérték kielégíti egyenletünket.

Ádám Antal (Bp., VIII., Széchenyi g. III. o. t.)