Kezdőlap


Feladat:	735. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Győry Kálmán , Kovács László
Füzet:	1956/november, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/február: 735. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a keresett szám $10 a + b$ , akkor a feladat szerint

\begin{matrix} {(10 a + b)}^{2} = 1000 c + 100 c + 10 d + d = 11 (100 c + d), \end{matrix}

(1)

ahol

a

b

c

d

nem negatív egyjegyű számok, és

a \neq 0

c \neq 0

.
Mivel a jobb oldal osztható

11

-gyel, azért a bal oldal is osztható

11

-gyel. De

11

prím szám, és így

{(10 a + b)}^{2}

csak úgy lehet

11

-gyel osztható, ha

10 a + b

maga is osztható

11

-gyel.

10 a + b

csak úgy lehet osztható

11

-gyel, ha

a = b

, vagyis

10 a + b = 11 a

, tehát (1) így írható

\begin{matrix} 11^{2} a^{2} = 11 (100 c + d), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 11 a^{2} = 100 c + d, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} a^{2} = \frac{100 c + d}{11} = 9 c + \frac{c + d}{11}, \end{matrix}

ahol

\frac{c + d}{11}

egész számnak kell lennie. Mivel

c = d = 0

, és

c = d = 9

nem lehetséges (

9999

nem négyzetszám), azért

0 < c + d < 18

, és így

c + d = 11

. Tehát

\begin{matrix} a^{2} = 9 c + 1, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} c = \frac{a^{2} - 1}{9} = \frac{(a + 1) (a - 1)}{9} . \end{matrix}

(a + 1)

és

(a - 1)

mindegyike nem lehet

3

-mal osztható, tehát vagy

(a + 1)

vagy

(a - 1)

osztható

9

-cel.

a - 1 \neq 0

, mert különben

a = 1

és

c = 0

volna, ami lehetetlen. Mivel

a \leq 9

, azért

a - 1 \neq 9

. Tehát szükségképpen

\begin{matrix} a + 1 = 9, ahonnan a = 8. \end{matrix}

Tehát a keresett szám

11 a = 88

. Tényleg

88^{2} = 7744

Győry Kálmán (Ózd, József Attila g. II. o. t.)

II. megoldás: Az I. megoldás szerint a keresett szám

11

-gyel osztható, és négyzete a feladat szerint négyjegyű, azért csak

33,44, ...,99

számok jönnek számításba.
Ezek közül a páratlan számok nem felelnek meg, mert

\begin{matrix} {(10 a + a)}^{2} = 100 a^{2} + 20 a^{2} + a^{2} \end{matrix}

és így, ha

a

páratlan volna, akkor

a^{2}

-ben (

09

25

49

81

) az egyesek helyén páratlan szám, a tízesek helyén pedig ‐ lévén

20 a^{2}

-ben is a tizesek száma páros ‐ páros szám állna, vagyis a harmadik és negyedik jegy nem egyezhetne.
Tehát csak

44

66

, vagy

88

jöhet figyelembe. Mindhármat négyzetre emelve meggyőződhetünk, hogy csak

88

elégíti ki a feladat követelményeit.

Kovács László (Bp., V., Eötvös g. III. o. t.)