Kezdőlap


Feladat:	734. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Argay Gyula
Füzet:	1956/november, 85 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/február: 734. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat értelmében meg kell határozni azoknak a $C$ pontoknak mértani helyét, amelyekre nézve az $A B C$ háromszögben a $C$ -ből kiinduló belső szögfelező átmegy az $O$ ponton. Ismert tétel alapján ez esetben

\begin{matrix} \frac{C A}{C B} = \frac{A O}{O B} = \frac{m}{n} . \end{matrix}

\begin{matrix} C A = \sqrt[]{{(x + m)}^{2} + y^{2}} és C B = \sqrt[]{{(x - n)}^{2} + y^{2}}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} \frac{m^{2}}{n^{2}} = \frac{{(x + m)}^{2} + y^{2}}{{(x - n)}^{2} + y^{2}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (m^{2} - n^{2}) x^{2} - 2 m n (m' + n) x + (m^{2} - n^{2}) y^{2} = 0. \end{matrix}

m = n

, akkor a mértani hely egyenlete

x = 0

, vagyis arra a triviális eredményre jutottunk, hogy ez esetben az

y

tengely pontjai tesznek eleget a követelménynek.
Ha

m \neq n

, akkor oszthatjuk egyenletünket

(m^{2} - n^{2})

-tel:

\begin{matrix} x^{2} - \frac{2 m n}{m - n} x + y^{2} = 0, \end{matrix}

ami úgy is írható

\begin{matrix} {(x - \frac{m n}{m - n})}^{2} + y^{2} = {(\frac{m n}{m - n})}^{2} . \end{matrix}

Ez pedig egy kör egyenlete, melynek középpontja az

(\frac{m n}{m - n},0)

pont, és sugara

| \frac{m n}{m - n} |

. Nyilvánvaló, hogy e kör minden pontja eleget tesz a feladat követelményének, tehát e kör a keresett mértani hely.

Megjegyzés: Ezzel koordináta-geometriai levezetését adtuk az Apollonius-féle körnek.

Argay Gyula (Balassagyarmat, Balassa g. III. o. t.)