Kezdőlap


Feladat:	733. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Gyula
Füzet:	1956/november, 84 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/február: 733. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjunk minden számlálóba $k$ $(k = 1, 2, ..., n)$ helyébe $(k + 1) - 1$ -et, és rendezzük a tagokat következőképpen:

\begin{matrix} s_{n} & = (\frac{2}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{3}{3 \cdot 4 \cdot 5} + ... + \frac{n + 1}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)}) - \\ - (\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)}) . \end{matrix}

Az első zárójeles összeg egyszerűsítés után így alakítható:

\begin{matrix} \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{(n + 2) (n + 3)} = \frac{4 - 3}{3 \cdot 4} + \frac{5 - 4}{4 \cdot 5} + ... + \\ + \frac{(n + 3) - (n + 2)}{(n + 2) (n + 3)} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + ... + (\frac{1}{n + 2} - \frac{n}{n + 3}) = \\ = \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 3} = \frac{n}{3 (n + 3)} . \end{matrix}

A második összeget is átalakíthatjuk:

\begin{matrix} \frac{1}{2} [(\frac{4 - 3}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{3 - 2}{2 \cdot 3 \cdot 4}) + (\frac{5 - 4}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \frac{4 - 3}{3 \cdot 4 \cdot 5}) + ... + \\ + (\frac{(n + 3) - (n + 2)}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)} + \frac{(n + 2) - (n + 1)}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)})] = \\ = \frac{1}{2} [\frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} - \frac{1}{(n + 2) (n + 3)}] = \\ = \frac{1}{2} [\frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{(n + 2) (n + 3)}] = \frac{n^{2} + 5 n}{12 (n + 2) (n + 3)} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} s_{n} = \frac{n}{3 (n + 3)} - \frac{n^{2} + 5 n}{12 (n + 2) (n + 3)} = \frac{4 n (n + 2) - (n^{2} + 5 n)}{12 (n + 2) (n + 3)} = \\ = \frac{3 n^{2} + 3 n}{12 (n + 2) (n + 3)} = \frac{n (n + 1)}{4 (n + 2) (n + 3)} . \end{matrix}

Beke Gyula (Hatvan, Bajza g. IV. o. t.)

Megjegyzés: Az

\begin{matrix} s_{n} = \frac{n (n + 1)}{4 (n + 2) (n + 3)} \end{matrix}

képlet

n = 1

esetén helyes

(s_{1} = \frac{1}{24})

, általános érvényessége teljes indukcióval könnyen bizonyítható.